МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
85
ранова. По-видимому, это самый важный критерий устойчивости для тока ма ков и пинчей. Он является главным аргументом для использования в токамаке сильного продольного магнитного поля. При заданном максимальном тороидальном поле критерий Кру-скала—Шафранова устанавливает верхнюю границу на величину тороидального тока, который можно пропускать по плазменному шнуру. В следующих главах критерии устойчивости q>l будет много раз появляться в различных формах.
Эта физическая картина развития винтовой неустойчивости с m — 1 была заимствована из работы [12].
Вопрос 6.2.3. Рассмотрим плазменный шнур с однородным током, используя декартову систему координат (Bx =—/го#/2, ow = /*o*/2, В^=Ві(І). Для заданного возмущения с т— 1:
Vі = (by, vyt Vz (х — ЕУ)/й) еэф(7^ л- — ikz)
И
В = {Ьлл — ibj,, hz (у ¦f Ix)Ja) схр(-^ -\- imb — \kz)
из первоначальных линеаризованных МГД-уравнений (5.1,1) я (5.1.2), пренебрегая полностью давлением б первом при ближений по аспектному отношению (?u<?Ij, можно получить условие разрешимости относительно констант vv, by, V11 bz_ Из какого уравнения следует критерий Kp у скала—Шафранова
~2~Лго<^Дг? Какое слагаемое в уравнении движения приводит к развитию неустойчивости?
Винтовые моды т>2. Предположим, что мы развернули поверхность плазмы в прямоугольник, показанный на рис. 6,4. Для того чтобы увидеть последовательность событий, приводящих к неустойчивости, этот рисунок нужно рассматривать начиная снизу. Радиальная часть возмущений, которая имеет синусоидальную зависимость sin (то), смещает плазму внутрь или наружу от первоначальной поверхности. Если невозмущенная плотность тока имеет резкий скачок на границе плазмы, то возмущения, в соответствии с соотношением 6J =^6'^ поднимают часть тока над поверхностью плазмы. Это приводит к появлению радиальной составляющей возмущенного магнитного поля Bj , которая меняет
свое направление при движении вдоль 9 и которая, в свою очередь, вызывает электрическое поле, параллельное горбам возмущений:
-fdl-E* = ^ dS-Bl. (6.2.1)
Плазма накоротко замыкает ту компоненту возмущенного электрического поля, которая параллельна равновесному магнитному полю. Остаток возмущенного электрического поля вызывает ЕхВ-дрейф плазмы внутрь или наружу от поверхности. Если невозмущенное магнитное поле навивается на цилиндр круче, чем горбы возмущений, как показано тта рис, 6,4, ЕхВ-дрейф усилн-
86
Рис. 6.4. ГТоследопательность этапов для иллюстрации неустойчивости с т^2. Из работы [13]
вает возмущения. В противном случае он препятствует развитию возмущений. Кроме того, если угол между силовой линией поля и горбом возмущения слишком велик, неустойчивость стабилизируется, поскольку при этом требуется слишком сильное изгибание силовых линий — так же как и в неустойчивости Рэлея — Тейлора в присутствии шира.
Критичным здесь оказывается угол между силовой линией магнитного поля и горбами возмущений. Эта модель предсказывает неустойчивость, осли на границе
плазмы mq<^nt и устойчивость, если mq>n, где т и п>—поло-идальный и продольный номера моды. Если магнитные силовые линии не имеют форму простой спирали, как это бывает в более сложной геометрии, то можно ожидать, что возмущения будут деформированы и раскачиваются преимущественно там, где они образуют оптимальный угол с магнитным полем.
Эта модель была предложена в работе Лоудера и Томас-^сена [13],
Вопрос 6.2.4. Можете ли Вы вывести 6J --5•V № Какие еще члены дают вклад в 6J? Останется ли винтовая не>стойчивость, если и д1р{г)/дг одно-
временно плавно стремятся к нули) из границе плазмы?
Вопрос 6,2.5. Допустим, что где-то существует рациональная магнитная поверхности q=т/л, на которой магнитные силойые линии параллельны горбам возмущений Имеет ли значение для неустойчивости, где находится рациональная поверхность, в вакуумной области или же внутри проводящей жидкости?
§ 6.3. ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Коэффициенты линеаризованных МГД-уравнепий для кругового цилиндра не зависят от времени, а также не зависят и от координат 0 и Z, Следовательно, отдельные фурье-гармоники в этих координатах независимы и можно рассматривать лишь одну фурье-гармонику по времени. Возмущения можно записать в виде
І(г,і) -S(/-)expfru-ri(mO -Az)].
Поскольку коэффициенты в разложении Фурье являются функциями только радиуса, задача становится одномерной. С помощью алгебраических преобразований из МГД-уравнсний можно исключить все возмущенные величины, кроме двух. Процедура алгебраических преобразований основана на двух ключевых моментах. На первом этапе вводится полное возмущенное давление как
87
сумма термодинамического и магнитного давлений:
/?* -/M-^Bo-BVi*. (6.3-2)
Следующий важный шаг заключается в выводе слагаемого, описывающего сжатие:
-ПНР*-WH) B\b) /й,-.
где F означает скалярное произведение волнового вектора и равновесного магнитного поля
F -= К- В - -у- B9 - kBz = (т - пд). (6.3.4)
После алгебраических выкладок получаем, что величины t%r и р* удовлетворяют следующей паре обыкновенных дифференциальных уравнений:
