МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Было бы полезно напомнить и уточнить наши определений равновесия и устойчивости. МГД-равновссие — это полный баланс сил в каждой точке пространства. Неустойчивость — это стремление уйти из положения равновесия при сколь угодно малых возмущениях скорости. Устойчивость — это стремление вернуться к первоначальному равновесию. Строго говоря, для исследования неустойчивости необходимо, чтобы возмущения развивались из равновесного состояния. Поэтому в качестве исходного обычно выступает возмущение скорости, а не возмущение давления пли магнитного поля. Например, для шарика, движущегося по дну чашки, это правило исключает возмущения, при которых шарик вращается, не проходя через положение равновесия,
Несколько труднее дать определение понятию нейтральной устойчивости; грубо говоря, это граница между устойчивостью и неустойчивостью. Затруднения возникают в том случае, когда равновесие вырождено. Например, допустим, что шарик движется па Круглому желобу на дне чашки. Является ли это состояние устой-чивым или только нейтрально устойчивым? Различие становится еще менее очевидным в непрерывной жидкости, у которой имеется бесконечное число степеней свободы — три на каждую точку в жидкости.
Вопрос 5,1, Разберитесь в следующих тонкостях п определении устойчивости:
1) Допустим, что плазма получила возмущение скорости, которое никак не меняет се форму, поля, давление и силы в плазме. Скорость остается неизменной. Является ли такая плазма нейтрально устойчивой?
2) Предположим, что возмущенная плазма стремится вернуться к первоначальному равновесию, но возвращающие силы так велики, что плазма проскакивает положение равновесия и каждый раз получает все большие возмущения (сверхустойчивость). Устойчипа ли такая плазма?
3) Допустим, что возмущенная плазма стремится вернуться к первоначальному положению, но вязкие или дисенпативные силы останавливают ее в новом равновесном состоянии. Неустойчива ли такая плазма?
4) Допустим, что н плазме образовались стационарный конвективные ячейки. Устойчиво ли такое новое состояние плазмы?
5) Предположим, что источник энергии создает хаотическое, турбулентное состояние, которое стационарно только а среднеч. Является ли это турбулентное состояние неустойчивым?
§ 5.1. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Мы будем основываться на системе уравнений идеальной МГД-модели (2.1.1) — (2. Кб) с граничными условиями (2.5,5) н (2.5.7), которые сохраняют массу, поток магнитного поля и энергию системы. Эти уравнения линеаризуются по бесконечно малым возмущениям стационарного равновесия, определяемого уравнениями (4.1.1) — (4.1.3) и условиями v°(x) --O1 P0- р°(х). Все рав-
72
новссные величины будут обозначаться индексом 0, а все возмущенные— индексом 1. Линеаризованные МГД-уравнения выглядят следующим образом:
= - VP1 + J0X В1 4- J1 X В», (5.1.1) J = — V X В;
^ = VX(V1XB«); (5.1.2)
у» v/^-Г/?0 V-Vі. Г = 5/3. (5.1.3)
Уравнение для возмущения плотности
^=---Vі ¦VP0-P0V Vі (5.1.4)
не потребуется, так как возмущение плотности не входит ни в одно из остальных уравнений. Неустойчивости в движущейся среде (v° ф 0) здесь рассматриваться не будут.
Отметим, что амплитуда каждой из семи возмущенных переменных (Vі, В1, /?1) несущественна, так как линеаризация может быть выполнена с помощью малого масштабного множителя в, на который умножается каждая возмущенная величина
7v\ /°\
в /BM
P , ~- \ P0 -s \ P1 ' (5л-5>
V р J \yl
Основная причина линеаризации МГД-уравнепий заключается в том, что при этом любое возмущение можно представить в виде суммы собственных функций, которые для заданного равновесия и граничных условий определяются однозначно вне зависимости от выбора начального возмущения. Начальные условия определяют лишь тот вклад, который дает каждая собственная функция в это возмущение, Так как в случае стационарного равновесия коэффициенты в уравнениях для возмущений (5,1,1)-(5.1.4) не зависят от времени, то вес собственные функции имеют простую экспоненциальную зависимость от времени (за исключением вырожденных собственных функций, которые могут иметь степенную зависимость от времени).
§ 5.2. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ І
Полезно записать линеаризованные уравнения в терминах вектора смещений
E(X,*)= \ dt' Vі (х, *')¦ (о.2Л)
73
Если использовать лагранжевы координаты, движущиеся вместе с жидкостью, то вектор 1 представлял бы собой смещение жидкого элемента от своего начального положения. Однако здесь мы используем эйлеровы координаты, которые неподвижны в инерциальной системе отсчета, и поэтому изменение величины § характеризует поток различных жидких элементов, последовательно проходящих через данную точку. Вывод энергетического принципа при фиксированной границе проще в эйлеровых координатах, тогда как при свободной границе, по-видимому, лучше применить лагранжевы координаты. Векторную функцию ? можно задать в любой системе координат; различие в интерпретации для бесконечно малых возмущений несущественно.
Линеаризованные уравнения (5.1.2) и (5.1,3) для возмущения магнитного поля и давления можно проинтегрировать по времени
