МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 55. МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Для исследования равновесия на устойчивость и изучения природы неустойчивостей, если они имеются, разработан ряд методов. Здесь мы перечислим некоторые из них и покажем, как они используются.
1. На основе линеаризованных уравнений движения решается задача с начальными условиями. Если равновесие неустойчиво, то почти при любом начальном возмущении через некоторое время наиболее быстрая неустойчивость будет преобладать над всеми остальными типами движений. Численная программа, использующая такой подход, была разработана Бейтманом, Шнендером, Гроссманом [11] и Вессоном, Сайксом [12]. Результаты этих исследований будут обсуждены в § 7,4,
2. Уравнение (5,3.8), которое фактически представляет собой три уравнения для определения трех компонентов ?, можно решать как задачу на собственные значения для определения спектра собственных значений и соответствующих им собственных функций. Этот метод особенно эффективен в случае прямого кругового цилиндра [13], когда, как мы увидим в § 6.3, уравнения сводятся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.
3. Максимальное значение инкремента можно найти с помощью вариационного метода
К К, S) + W {?, S}] - 0, (5.5.1)
79
где К {%у ?}} ^ J Uf3Xp0I2, если использовать для каждого из
компонентов I пробные функции со свободными параметрами. Эту процедуру можно рассматривать как нахождение минимума &W при использовании условия нормировки К (j, S) -= 1 для того, чтобы исключить тривиальные решения для ?. При такой интерпретации у2 представляет собой неопределенный множитель Лагранжа для нахождения условного экстремума. Такой прямой вариационный метод был применен Кернером и Тассо {Щ при исследовании неустойчивостей в аналитической модели равновесия В. Д. Шафранова, см. вопрос (4.4.3). Кроме того, этот подход лежит в основе численных схем, использующих метод конечных элементов для определения полного спектра собственных значений в МГД-модели для любого аксиально-симметричного равновесия [14].
4. Если мы намерены ограничиться меньшим количеством информации, то для достижения наших целей или для упрощения задачи мы можем сменить пашу тактику. Например, если мы хотим исследовать только устойчивость без каких-либо оценок инкремента или частоты колебаний, то нам достаточно минимизировать одну потенциальную энергию oW, не обращая внимания на вклад кинетической энергии. Таким образом, условие нормировки К if, Sl - - 1 можно заменить любым другим условием. При этом мы теряем возможность получить реальную оценку инкремента или вычислить структуру собственных функций.
Часто используется метод оценки верхнего и нижнего предела у2, основанный на выборочном отбрасывании заведомо положительных или отрицательных членов из выражения для oW^(S,S}. Таким образом, можно получить необходимые или достаточные условия устойчивости (16, 17].
5. В процессе анализа часто бывает полезным выполнить час-тичную минимизацию потенциальной энергии. Полная минимизация bW эквивалентна нахождению решений уравнений Эйлера для трех компонентов |. Для многих задач, рассмотренных в литературе, часто оказывается, что два из уравнений Эйлера достаточно просты и допускают точное решение. Это происходит, например, когда используются специальные условия нормировки, либо в том случае, когда равновесие обладает достаточной симметрией для того, чтобы можно было эффективно использовать фурье-анализ. Прекрасный пример такой частичной минимизации будет рассмотрен в § 7.2 при выводе критерия Мерсье.
Вопрос 5.5.1. Предположим, что равновесие нейтрально устойчиво, а в собственной' функции возмущения берется только часть, связанная с полем скоростей. Как будет вести себя возмущение давления и магнитного доля во времени?
Мне хотелось бы выразить благодарность Дэвиду Нельсону за многочисленные плодотворные обсуждения в процессе подготовки этой главы.
80
§ 5.6. РЕЗЮМЕ
Линеаризованные уравнения для малых возмущений стационарного равновесия записывают, как правило, в терминах вектора смещений жидкости, который определен с помощью (5.2.1). Обычно полагают, что жидкость имеет начальное возмущение скорости, а начальные возмущения смещения, магнитного поля и давления равны нулю (5.2,4). В этом случае линеаризованные уравнения движения для смещения даются формулой (5,2,7), а возмущения магнитного поля и давления описываются с помощью (5.2.5) и (5,2.6).
6W означает потенциальную энергию, связанную с малыми возмущениями (5.3.4). Если для какого-либо возмущения ? значение hW отрицательно, значит, существует экспоненциально нарастающая неустойчивость. Если для каждого нетривиального возмущения bW положительно, то плазма устойчива в МГД-дрибли-жении. Все невырожденные собственные функции либо экспоненциально нарастают, либо осциллируют во времени с постоянной амплитудой (величина ^действительная).
Выражение для Ow можно распространить на вакуумную область (5.4.2)-(5.4.6). Приведены две наиболее полезные формы записи плазменной части bWF (5.4.7) и (5.4.9).
§ 5.7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
J. Bernstein I. В. е. а. —Ргос. Roy. Soc, 1958, v. А244, p. 17—40.
