МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Вторая радиальная сила возникает из-за взаимодействия полоидального тока в плазме (если он имеется) с тороидальным магнитным полем. Так как на внутренней стороне тора тороидальное магнитное поле больше, чем на внешней [В<? = /(-ф)./Л?], а любой полопдальный ток, протекающий по внешней стороне, должен протекать и по внутренней (\7-J = 0), то из ЛПолХВтг>р выделится результирующая сила по большому радиусу. Направление этой силы зависит от направления полоидального тока, эта сила действует наружу для диамагнитной плазмы и внутрь для парамагнитной.
Эту силу можно вычислить точно так же, как была вычисле-на сила, связанная с давлением плазмы. Воспользуемся интегральной формой уравнений равновесия (4,1.7), в которой интегрирование проводится по поверхности того же самого бесконечно тонкого тороидального сектора. Каждое слагаемое в (4.1.7) описывает силы, действующие на поверхность. Рассмотрим эффекты, связанные только с тороидальным полем. Из поверхностного интеграла в (4.1.7) можно выделить часть, связанную с интегрирова-
нием по торцам сектора t/S-ф, и часть, связаную с интегрированием по участку тороидальной поверхности, которая образует боко-
вую поверхность плазменного сектора dS-n, п =— V1W I V^1I» на
5 3d к. IGOO 65
которой тороидальное поле равно вакуумному магнитному полю:
Г В2 - Г' - В2 -
Fv--jdS.9-5j» + JdS.B^n. (4.7.2)
Если бы внутри плазмы тороидальное магнитное поле было вакуумным, то результирующая сила, действующая на плазму, отсутствовала, и сила, описываемая равенством (4.7.2), была бы равна нулю (это можно доказать строго [7]). Отсюда следует, что силы, действующие на боковые поверхности сектора, возникают из-за разницы между тороидальным полем внутри плазмы и вакуумным тороидальным полем
(4.7.3)
Так же как и сила, обязанная давлению плазмы, суммарная сила, действующая на тор только из-за тороидального поля, равна
(4.7,4)
Наконец, необходимо знать выражение для силы, возникающей при взаимодействии тороидального тока с полоидальным магнитным полем. Эту силу легко представить наглядно, если плазму заменить жестким сверхпроводящим тором, по которому протекает тороидальный ток. Рассмотрим теперь магнитное поле плазменного тока. Те силовые линии, которые заполняют все пространство с наружной стороны тора, должны пройти через отверстие тора. Таким образом, полоидальное поле на внутренней стороне тора должно быть гораздо больше, чем на внешней (как показано на рис. 4,9)» так что существует результирующая сила» направленная наружу. Внешнее вертикальное магнитное поле уменьшает напряженность результирующего поля на внутренней стороне тора и увеличивает на внешней, что компенсирует эту си* лу и уравнивает все остальные.
Простейший способ расчета силы іТорхВПОл состоит в задании виртуального радиального смещения плазмы и определении изменения энергии полоидального магнитного поля за счет изменения
\
\ \ \
\
\ \ \ \
і 1
/
К \
/
ч
4-У 11
—У/
Рис, 4.9. Полоидальное магнитное поле плазменного тока дает вклад в радиальную силу, расталкивающую плазму. Внешнее вертикальное магнитное поле приводит к силе, направленной внутрь
66
индуктивности при фиксированном потоке ^полоидального поля:
rV, = 11т0? - фиксирован; (4.7.5)
Рвпо,=" Jr -T11^p= 4-7™^- (4.7.6)
Вопрос 4.7.1. Чему была бы равна сила, действующая на плазму, если вместо полоидального магнитного потока был бы фиксированным тороидальный тик? Какую работу должен был бы совершить индуктор или обмотки полоидального поля для того, чтобы поддерживать тороидальный ток? Включен ли в (4.7.5) поток внешнего вертикального магнитного поля?
Для расчета этой силы можно воспользоваться стандартным выражением для индуктивности круглого тора в приближении большого аспектного отношения
L = V-R (In (SR J а) - 2 + /,/2), (4.7.7)
где R — большой радиус, а — малый радиус и
I1 -= JdS-і/«ла Bio*(а) (4.7.8)
внутренняя индуктивность на единицу длины тора, т. е. энергия полоидального магнитного поля, заключенная внутри плазмы при единичном плазменном токе. Для однородного или слабо пикированного распределения тороидального тока /*>1/2.
Выражение (4.7.7) вывести не так просто. Обычно при выводе полоидальный поток в вакуумной области, окружающей тор, выражается в виде ряда по специальным функциям, а затем для магнитного потока на поверхности тора используется приближение большого аспектного отношения, которое подставляется в выражение (4.7.5). По-видимому, этот результат невозможно получить, используя только локальное разложение. Причина этого заключается в том, что в полный полоидальный поток дает вклад переходная область между тороидальными поверхностями вблизи шнура, где плазму можно рассматривать как прямой проводник, и областью, далекой от тора, где плазма выглядит как магнитный диполь. Такой переход происходит на расстояниях, сравнимых с большим радиусом тора, в связи с чем внешняя индуктивность приблизительно равна индуктивности прямого проводника в коаксиальном кожухе радиусом r=^R:
I**™« - pR (In IbR/a) - 2) ~ y.R In (R/а).
