МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим некоторую тороидальную магнитную поверхность и введем перегородки, одну перекрывающую отверстие тороида •5цол» а другую — его поперечное сечение STop (рис. 4.2). Тороидальный поток через любое сечение тороида 5Т0р равен
^1йр== ^ dS-B — поток вдоль большого обхода, (4,2.1)
а полоидальный поток через любое сечение, перекрывающее отверстие тороида, 5Пол» дается выражением:
^ ^ d$B ¦= поток в направлении малого обхода. (4.2.2)
5 пол
В § 2.2 показано, что через любую поверхность, натянутую на один и тот же контур, проходит одинаковый магнитный поток. Так как силовые линии магнитного поля всюду направлены по касательной к тороидальной магнитной поверхности, то поток магнитного поля через такую поверхность отсутствует. Таким образом, через любые топологически эквивалентные контуры (Стор или Стол) на магнитной поверхности проходит один и тот же магнитный ПОТОК. ОтСГОДа СЛСДуеТ, ЧТО Обе ВеЛИЧИНЫ ^Tf>p И 1|?по.-т являются поверхностными величинами. Поверхностной величиной называется любая переменная, которая постоянна на магнитной поверхности. И наоборот, можно показать, что все поверхности, на которых постоянны -фтор или Oh110Jb являются магнитными поверхностями.
50
В теории МГД-равновесия используются и многие другие поверхностные величины. Например, из равенства В-ур = 0, которое является прямым следствием уравнения у ^ = JxB1 следует, что давление является поверхностной величиной. Если давление изменяется от поверхности к поверхности так, что I у р\Ф0, за исключением отдельных магнитных поверхностей, то тороидальный и полоидальный токи также являются поверхностными величинами:
/тор = 5 ^S J ":
— (j) ^J-B — полный ток, протекающий вдоль большого (4.2,3) с„01 обхода внутри магнитной поверхности;
Jп0л С dSJ --—?a\B ^ полный ток, протекающий (4,2,4) sJoi 11^1 через отверстие тороидаль-
Д01 г 3 ной магнитной поверхности.
Это следует из условия J - \ p = J.JxB~0, которое означает, что ток не течет поперек магнитных поверхностей.
Вопрос 4.2Л. Если давление однородно на любой магнитной поверхности, то каким образом плазма удерживается в зеркальной ловушке?
Отметим, что в работах с математическим уклоном часто используются введенные Крускалом и Кулсрудом [1] стандартные обозначения: ip (или х?) и / для тороидального магнитного потока и тока внутри магнитной поверхности; % и / для полоидаль-ного магнитного потока и тока, проходящих между магнитой осью и магнитной поверхностью. Однако в литературе, посвященной аксиально-симметричным тороидальным конфигурациям, ф обозначает потоковую функцию, которая пропорциональна потоку поло-идального магнитного поля. Попытаемся исключить эту путаницу, используя индекс у потоков и токов как полоидальных, так и тороидальных, оставив, когда это потребуется, обозначение ф за потоковой функцией.
Кроме того, при определении потока полоидального поля и полоидального тока воспользуемся не перегородкой между магнитной осью и магнитной поверхностью, а поверхностью, перекрывающей отверстие тороида. В этом случае поток полоидального поля включает в себя магнитный поток индуктора, а полоидальный ток включает ток в катушках тороидального поля. При таком определении не нужно привязываться к магнитной осн.
§ 4.3. ПАРАМЕТР q
Параметр qt который иногда называют «запасом устойчивости», определяется как отношение числа оборотов силовой линии магнитного поля вдоль тора к числу оборотов по малому обходу, в пределе бесконечного числа оборотов:
_число оборотов по большому обходу ^
^= m число оборотов по малому обходу * \ • • )
4* 51
Так как силовые линии не пересекаются, параметр q одинаков для всех силовых линий на магнитной поверхности. Таким образом, q— это поверхностная величина. В дальнейшем мы увидим, что эта величина играет чрезвычайно важную роль в теории МГД-неустойчивостсй и часто встречается как в условиях устойчивости, так и в выражениях для инкрементов.
Иногда*q вычисляют, следя за магнитной силовой линией и находя отношение числа оборотов. Однако в обидем случае лучше использовать иное выражение:
Я of+W^lW (4-3.2)
которое применимо для любой замкнутой геометрии магнитного поля.
Формальный вывод (4.3.2), использующий специальную систему координат, в которой силовые линии магнитного поля являются прямыми, будет обсуждаться в § 7.2. Однако Kp у скал [2] предложил простой вывод (4.3.2), который приводится здесь.
Выделим слой соседних магнитных поверхностей ті выпрямим его так, как это показано па рис. 4.3. Поверхности, отмеченные Vi и — это тороидальные магнитные поверхности, а <р и б — произвольные тороидальный и полоидальньтй углы. Сначала рассмотрим частный случай, при котором все силовые линии магнит-його поля замыкаются на себя при одном обходе то рои да, так что и нет шира. Рассмотрим перегородку между мапппными поверхностями, параллельную магнитному полю; па рис. 4.3 она заштрихована. Теперь будем изгибать ее до тех пор, пока она не совпадет с правой боковой стороной и нижней гранью выделенного объема. Тороидальный магнитный поток, проходящий через боковую сторону, равен 4 dt|)Tor, а полоидальный поток, проходящий через нижнюю грань, равен —flhlwn. Через боковые стороны и первоначальную перегородку поток не проходит, так как эти поверхности всюду параллельны магнитному полю. Следовательно, весь поток, входящий в этот объем через нижнюю грань, должен выходить через боковую поверхность
