МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
пол
d'b ИЛИ ^ тЧо'^пол 1 Я-
гор т тор;
Рассуждая так же в случае, когда силовая липня делает п оборотов по большому обходу (вдоль ф) на каждые т оборотов по
малому обходу (вдоль 6), можно получить выражение для q на рациональных магнитных поверхностях:
^ораної = nfm -= q.
После этого равенство (4.3.2) следует из предельного перехода к иррациональным зна-Рис. 4.3. Иллюстрация к выводу гениям ц\ гакие рассуждения, Крускалом формулы ?=<Л|:ТОр/гі^ПОд основанные на рассмотрении
52
бесконечно тонких слоев, применимы и при наличии шира, т. е. когда dq(V)fdV^0.
Вопрос 4.3.1, Допустим, что полоидальная компонента магнитного тюля обращается в нуль на внутренней части аксиально-симметричного тора, где остается лишь торой да лььтое поле. Силовые линии огибают тор с внешней стороны, где па той же магнитной поверхности полоидальная компонента не равна нулю. Могут ли чти силовые линии па одной и той же магнитной поверхности иметь разные значения
Вопрос 4.3.2. Чему ратю q па магнитной оси? Отличается ли оно от q для силовых линий в непосредственной близости от магнитной оси?
Часто параметр q путают с наклоном магнитной силовой линии. Наклон — это локальная величина, которая может меняться от точки к точке па магнитной поверхности, и то время как q описывает топологические свойства силовых линий и всюду одинаково на магнитной поверхности. Наклон силовой линии равен обратному значению ц только для прямого кругового цилиндра.
В литературе часто используется и другая величина, угол вращательного преобразования, значение которой в точности равно обратному значению q:
X -= \]q. (4.3.3)
Угол вращательного преобразования, выраженный в радианах, определяется как X = 2JtA/.
§ 4.4. УРАВНЕНИЕ ТРЭДА - ШАФРАНОВА
Существует три типа конфигураций с произвольной формой поперечного сечения, из описания которых выпадает по крайней мере одна переменная. — это прямой цилиндр, аксиально-симметричный торопд и конфигурация, обладающая винтовой симметрией. В каждом из этих трех случаев с помощью введения потоковой функции і|з уравнения равновесия можно свести к одному дифференциальному уравнению в частных производных с одной неизвестной функцией. Поскольку для любых заданных профилей и граничных условий такие преобразования существенно упрощают задачу расчета равновесия, то во многих лабораториях всего мира сейчас используют стандартные численные программы, основанные на решении уравнений, преобразованных подобным образом.
Этот параграф посвящен выводу и обсуждению уравнения Грэда ~- Шафранова, к которому приводятся уравнения равновесия для аксиально-симметричного то-роида. В конце параграфа помещена таблица приведенных уравнений для всех трех типов конфигураций, обладающих соответствующей симметрией.
Для вывода уравнения Грэда — Шафранова воспользуемся цилиндрической си-
і cttn-
Рис. 4.4, Система координат, которая ис-польчуетсн для расчета аксиально-симметричного юроидалміого равновесия
53
стемой координат (R, у, ср), ось которой совпадает с центральной осью тороида, как показано на рис. 4.4. Так как тороидальный угол ф не входит в уравнение (dJdq>~Q)y то полоидальное магнитное поле можно выразить с помощью только одной тороидальной компоненты векторного потенциала ^4Ф;
V X (Л,?) + ?f?. (4Al)
Вместо векторного потенциала обычно используют функцию потока \pt определяемую равенством:
= X " тга** + (4-4.2)
Подставляя (4.4.2) в (4.2.2), можно видеть, что функция потока пропорциональна полоидальному магнитному потоку:
Ф - 1.л/2«- (4.4.3)
Итак, — это поверхностная величина, которую вообще говоря, можно использовать для маркировки магнитных поверхностей. Выражение для плотности тока следует из (4.4.2)
ItJ = у X В =--1-Д*ф + у X Vb (4.4.4)
где Д* — специальный оператор, определенный как
л ** = Rw -R т + д?- (4-4-0»
Из условия В* VP=B-JxB-O следует, что давление — это поверхностная величина, так что
P-P <*). (4.4.6)
Теперь из уравнения ур—JXB
следует, что вектор V (ЯЗД должен быть направлен вдоль v$ Таким образом, произведение RB9 —это поверхностная величина:
RB9 - / (+). (4.4.8)
Отметим, что величина /(ij?) пропорциональна полному полоидальному току
/(«- ? J rfS-J^-^iam. (4.4.9)
5 пол
Теперь из (4.4.7) следует уравнение Трэда — Шафранова:
- Д*Ф «- /?^/?' (ф) + //' (ф); (4,4,10)
54
л*^ #Л JLjL +iL
Член A*iJ) в левой части (4.4.10) представляет собой ту часть в балансе сил, действующих на плазму, которая возникает из-за взаимодействия тороидального тока с полоидальным магнитным полем (—Д*я]э —/?/ф), в то время как слагаемое //' в правой части (4.4.10) описывает взаимодействие полоидального тока с тороидальным магнитным полем.
Стандартный метод расчета аксиально-симметричного равновесия в токамаке заключается в задании функций р~р(-ф) и ! = вместе с граничными условиями или заданными извне условиями на \\> и затем в обращении оператора типа Лапласа Д*ф для получения ^ = Ij)(Z?, у).
Когда профили пли граничные условия нелинейны, производят итерации до тех пор, пока ^ не сойдется к решению. Такая процедура в некотопом смысле неудобна, поскольку функции источников и //'(^) должны быть заданы как функции зависимость которых от координат не известна до тех пор, пока уравнение не решено. Вообше говоря, для тора с конечным аспект- , ным отношением оказывается невозможным сначала задать К ij)(R, у), а затем найти p(\\i) и /Гі|і) [29]. Только бесконечно ма- -> лая часть из всех возможных потоковых функций и магнитных полей является подходящей для МГД-равновесия.
