МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
7. Berge G. — Nucl. Fusion, 1972, v. 12, p. 99—117.
8. Wesson J. A. —Phys. Fluids, 1970, v. 13, p. 761—766.
9. Wolf G, H. — Z. Phys,, 1969, Bd 277, S. 291—300,
47
Глава 4. МГД-РАВНОВЕСИЁ
В МГД-теории удержания плазмы в магнитном поле термин равновесие означает полный баланс сил. Так как любая неустойчивость стремится нарушить равновесие, то изучение неустойчиво-стей естественнее начать с обзора наиболее важных свойств тех равновесных конфигураций, которые будут рассматриваться ниже. В § 4.1—4.3 рассмотрены общие свойства произвольных, стационарных равновесных конфигураций со скалярным давлением. Особое значение придается обсуждению в § 4.3 параметра q. В § 4.4 выводится уравнение равновесия Грэда — Шафранова для аксиально-симметричных тороидальных конфигураций. И наконец, в § 4,5—4.7 разобраны три примера, иллюстрирующие некоторые свойства конфигураций, а также те характерные проблемы, с которыми приходится сталкиваться при расчетах равновесия.
§ 4.1. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА СИЛ
Стандартные уравнения МГД-равновесня выглядят следующим образом;
VjP- JxB; (4.U)
J = IvXB; (4.1.2)
V-B-0. (4.1.3)
Эти уравнения применимы к неподвижной (v = 0) плазме со скалярным давлением, которая находится в стационарном состоянии (0/Ot = O) и па которую не действуют какие-либо объемные силы, такие, как сила тяжести или давление нейтрального газа. Такое приближение наиболее часто используется в токамаках или пинчах, где оно обычно хорошо обосновано.
Существует несколько других способов записи уравнений равновесия. Если силу JxB записать через магнитное давление и натяжение силовых линий как в (2.4.5), то уравнения сводятся к виду
Vl(P -i BW = (W^-It, (4.1.4)
где k= В¦ V В —- кривизна магнитных силовых линий. С помощью (2.4.1) получим:
v(p + ?7^)=(1/V)B.VB. (4.1.5)
Запись силы JxB в виде тензора напряжений (2,4.6) или (2.4.7) дает
V {I BB-I (я -]- Я2/2и)] - 0. (4.1.6)
Интегрируя дивергенцию тензора напряжений по произвольному объему и используя теорему Гаусса, можно получить ннте-
46
Гральную форму уравнений равновесия
(jiflS- [(p-\ ^u)n - n BBj (\ (4.1.7)
где S — любая замкнутая поверхность с нормалью п.
Вопрос 4-1.1. Можно ли для любого магнитного поля подобрать подходящее МГД-равновесие? Можете ли Вы подобрать магнитное поле, для которого JxB не является градиентом скалярной функции?
§4.2, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Если следовать достаточно долго за силовой линией магнитного поля, то мы увидим, что она либо замкнется сама на себя, либо покроет поверхность, либо заполнит объем, либо уйдет из ограниченной области, В этой книге рассматривается плазма, удерживаемая магнитным полем, в которой большая часть силовых линий, бесконечно навиваясь, эргодичеекп образует систему вложенных тороидальных поверхностей. Любая поверхность, образованная силовой линией магнитного поля, называется магнитной поверхностью. Говорят, что силовая линия вргодически покрывает магнитную поверхность, если она проходит сколь угодно близко к любой точке на этой поверхности. Тороидальная поверхность или тороид—это поверхность, топологически эквивалентная Т0РУ (У тора круглая дырка и круглое поперечное селение). Вложенные одна в другую магнитные поверхности окружают силовую линию, которая называется магнитной осью. Если имеется бо,ice одной магнитной оси, как показано на рис, 4.1, то между областями, содержащими эти оси, происходит изменение топологии магнитных поверхностей; поверхность, на которой происходит изменение топологии, называется сепаратрисой. Проще всего определить сепаратрису, находя х-точку на поперечном сечскіш магнитных поверхностей.
Вообще говоря, некоторые из магнитных силовых линий, после конечного числа обходов вдоль большого обхода тора, могут замкнуться сами на себя. Такие замкнутые силовые линии лежат на так называемых рациональных магнитных поверхностях, кото-
Рис. 4.1 Поперечное ссчепле .маїнитішх поверхностей с двумя магнитными осями
4 Зак. vm
Рис. 4 2, Тороидальная магнитная поверхность, на которой показаны переіородки н контуры
рые расположены между магнитными поверхностями, эргодическй покрытыми силовыми линиями, точно так же, как на числовой оси рациональные числа расположены между иррациональными. Когда на некоторой рациональной магнитной поверхности силовые линии обладают той же топологией, что л возмущения рассматриваемой неустойчивости, магнитная поверхность называется резонансной. В дальнейшем мы увидим, что такие поверхности, играют очень важную роль в теории неустойчивостей.
Кроме простых вложенных тороидальных конфигураций имеется множество других возможностей для поведения магнитных полей. Магнитные поверхности могут разбиваться па тонкие волокна — магнитные острова, вьющиеся в плазме. Это явление подробно обсуждается в гл. 10. Сами эти острова могут содержать внутри себя меньшие острова; меньшие острова, в свою очередь, обладают последовательно более тонкой островной структурой и т. д. В качестве альтернативы силовая линия может квазиэргоди-чески заполнить целый объем — в результате случайных блужданий она подойдет сколь угодно близко к любой точке в этом объеме. В другом предельном случае все силовые линии могут оказаться замкнутыми, и истинных магнитных поверхностей тогда не будет. Каждая из этих возможностей анализировалась в литературе, но в настоящей книге не рассматривается.
