МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Другая возможность заключается в сдавливании плазмы стенками из токов, направленных навстречу току в плазме и расположенных с двух сторон от плазмы, как на рис. 4.6, б. При этом магнитное поле по обе стороны от плазмы усиливается, так что возросшее магнитное давление сжимает плазму. Подробнее этот метод обсуждается в § 4.6.
Вопрос 4.5Л. Если бы все внешние проводники, обсуждавшиеся выше, были бы помещены на некоторый контур, окружающий плазму, то вариант со ежа-ткем плазмы можно было бы преобразовать в вариант, эквивалентный растягиванию за концы, просто добавлением продольного, однородно распределенного по контуру тока, который сам по себе не влияет на плазму. Существует ли с этой точки зрения какая-либо разница между сжатием и растяжением плазмы?
В примере, который рассмотрен ниже, воспользуемся простейшей конфигурацией. Плазма имеет приблизительно эллиптическую форму сечения с однородным распределением плотности продольного тока. Форму сечения плазмы обеспечивает внешнее квадру-польное магнитное поле. Этот простой пример можно описать ана-
Таблица 4, L Приведенные уравнения равновесия
Прямой цилиндр Аксиально-симметричный тор Винтовая симметрия
{х>у> z) d/dz — 0 {Hb л d\b В= я Х---Г Х ду ох X Ц -ь в? {Д. У, Ф) 0/Зф — 0 1 &ф 1 сЫ> -v В =--- R- — — у + R ду R dR у^ (г, Є, г) и ее 9 — kz г ди B8 - Шг = 4- ^
P = P W)
вг = вг №) RBy = I (ф) р = р (ф) + л, = я №
д*іь—j? ......- - J____ ¦» т дН R oi? ду* г ^ 1+ JtV3 дг + 2kH + HH'№) , — 1 4. ft Vя
58
литическн> а представленные методы можно использовать и для более общих конфигураций.
Если прямой плазменный цилиндр имеет однородное распределение плотности тока, то уравнение для полоидальной функции потока (табл. 4,1} можно записать в виде
- V2T1 = V-P' т + ВЖВ'Ж&) - р Jj1. (4.5.1)
Подходящее решение этого уравнения для функции потока и соответствующего магнитного поля выглядит следующим образом:
По плазме, ограниченной магнитной поверхностью, которая в данном случае представляет собой эллипс с большой полуосью Ь и малой а, протекает однородно распределенный ток. Давление или комбинация давления плазмы и давления продольного магнитного поля выразится в виде
ИЛИ
1 2 Ъ* + а* J*°r \а* ^ Ж)\
Величину д на длине L «= 2«/А можно определить с помощью (4.3.2):
«w-nar^s;-- (4-5-5>
Многим исследователям было бы достаточно этого формального решения уравнений равновесия плазмы. В таком виде его можно использовать для исследования устойчивости конфигурации и процессов переноса в плазме, таких, как диффузия и перенос тепла. Однако нас интересует, каким образом меняется форма плазмы под действием внешних токов. С этой целью необходимо выяснить, какая часть магнитного поля индуцируется токами в плазме, а какая — внешними токами.
Поле, создаваемое одним плазменным током, можно определить, интегрируя функцию Грина по распределению тока. Функция Грина — это просто величина потока в точке (jc, у), создаваемая продольным точечным током, расположенным в другой точ-
(4,5.4)
59
те [Jl) \
р Щ2± щ (JL-У ¦>! t (4.5.6)
г6
где г0 — произвольный радиус, используемый для обезразмерива-ния аргумента логарифма. После интегрирования по плазменному току полученный результат имеет следующее разложение в ряд Тейлора вблизи магнитной осп:
Фил. ,ок - %-\т^{Ьх*±ау2) I ¦ ¦ (4.5.7)
а соответствующее полоидальпое магнитное поле дается выражением
Впо.,^^(й*у- аух) H .... (4.5.8)
Отметим, что магнитные поверхности собственного поля тока в плазме пе соответствуют форме плазмы. Заметим, кроме того, что магнитное поле, необходимое для равновесия плазмы (4.5.3), должно быть минимальным вблизи заострений плазменного эллипса, в отличие от собственного поля (4.5.8). Для равновесия к собственному полю тока необходимо добавить поле внешних токов, так, чтобы их сумма совпадала с равновесным полем. Через функцию потока это можно записать в виде
В рассматриваемом здесь конкретном примере достаточно не -пользовать квадрупольное поле, которое представляет собой низшую гармонику в разложении поля четырех проводников, параллельных плазменному цилиндру, с чередующимися токами Iq. Если эти проводники расположены на радиусе г0 от центра плазмы, их функцию потока можно аппроксимировать с помощью выражения
Из подстановки (4.5.2). (4,5.7) и (4.5.10) в (4.5.9) видно, что для создания нужной комбинации функций потока токи н размеры должны удовлетворять следующему соотношению:
q 2 {bfaf + \(Ьіа-{ І)2 а* 'пл' 1 j
где /пл = яй&/го ~~~ полный плазменный ток. Это соотношение следует из баланса мультпиольных членов низшего порядка разложения. Члены более высокого порядка компенсируются небольшим изменением формы плазмы или увеличением числа внешних проводников.
Из соотношения (4.5Л1) видно, что без внешних токов вытя-нутость отсутствует (6/а=1). С ростом внешних токов вытяну-тостъ увеличивается (6/о>1). Однако, начиная с некоторой вытя-
60
нутости (более строгое рассмотрение [13] дает b/a = U,§), для дальнейпгего увеличения вытяпутости внешний ток должен уменьшаться. Это происходит потому, что внешнее квадрупольное магнитное поле возрастает с радиусом быстрее, чем магнитное поле плазмы возрастает с вытяну гостью. Важный момент заключается в том, что такое равновесие плазмы определено неоднозначно, даже если заданы все токи и ширина тіл аз мы. При изменении параметров появляется точка бифуркации, в которой равновесие может пойти по одному из двух путей. Обычно точка бифуркации отделяет класс устойчивых равновесий от неустойчивых. Стандартный механический пример бифуркации — это нагруженный стальной стержень. При нагрузке выше критической стержень может оставаться в равновесии, в котором он будет прямым, или перейти в новое положение равновесия, в котором он будет изогнутым. Прямая форма неустойчива, а изогнутая снова устойчива.
