Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Энергетика -> Бейтман Г. -> "МГД-Неустойчивости" -> 17

МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.

Бейтман Г. МГД-Неустойчивости. Под редакцией Шафранова В.Д. — М.: Энергоиздат, 1982. — 198 c.
Скачать (прямая ссылка): mgdneust1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 84 >> Следующая

столько жидкости, сколько вытекает из него. Это условие упрощает уравнение непрерывности (3.1.5), физический смысл которого теперь заключается в том, что плотность любого движущегося элемента жидкости остается неизменной.
Введем теперь бесконечно малые возмущения и линеаризуем эти уравнения. При
40
этом член v-yv выпадает, а коэффициенты линеаризованных уравнений не зависят ни от времени, ни от координат х и Полезно использовать фурье-разложсние возмущений по этим координатам и рассмотреть одну фурье-гармонику по времени:
Vі (у)ехр(т* - 'к'*). (3AJ)
Переменные р1, р1, VI и v\ можно исключить с помощью алгебра-
ических преобразований, в результате чего получим одно уравнение второго порядка
На величину v^(yf t) необходимо наложить два граничных условия.
Для каждого заданного волнового числа к для ьхд (у) существует бесконечное число решений, соответствующих различным значениям инкремента Re (у) и частоты колебаний Im (у). Такой набор всех возможных комплексных значений у называется спектром задачи на собственные значения.
Вопрос 3,1 Л. Можете ли вы, при заданном произвольном профиле плотности \>{y)i построить приблизительное решение, сильно локализованное по сравнению с линейным масштабом равновесия? Имеют ли ^ти решения дискретный спектр собственных значений? В любом ли месте может быть локализовано решение? Основываясь на этом решении, сделайте вывод о том, где следует ожидать наличия точки сгущения в спектре.
Вопрос ЗЛ.2. Постройте решение (ЗЛ 8) н случае р=,р° схр(#/Я) с граничными условиями v)j{u)=Vy (^)=0. Какие моды оказываются при этом наиболее неустойчивыми?
Вопрос ЗЛ.З, Найдите собственные функции (3.1.8) в юм конкретном случае, при котором, профиль плотности веч.де однороден, за исключением разрыва
при у = 0, с граничными условиями и^(а) = с? (—O)=O1 Корректна ли с математической точки зрения эта задача?
Перейдем к описанию приема, часто применяемого в теории устойчивости. Этот прием заключается в использовании вариационной формы записи основного уравнения в том случае, когда в задаче на собственные значения бывает трудно построить даже приблизительные решения. Рассмотрим случай со следующими
граничными условиями:
vi =0 или диЦду -0 (3.1.9)
на верхней и нижней границах области. Умножим (3.1.8) на Vі и проинтегрируем по у по частям, используя граничные условия
7s =
(З.ІЛО)
Преимущество (ЗЛЛО) по сравнению с (ЗЛ.8) состоит в том, что с помощью (ЗЛЛО) можно оценить величину у2, используя
41
произвольные пробные функции, которые удовлетворяют граничным условиям. Чем точнее пробная функция приближается к собственной функции, тем точнее будет оценка для собственного значения у. Используя пробные функции с подгоночными параметрами, можно оптимизировать оценку самой быстрой неустойчивости, т. е. максимального значения у. Используя конечное число из некоторой полной системы пробных функций, можно построить задачу на собственные значения, решение которой включает в
себя обращение матрицы конечной размерности.
Вопрос 3.1.4. Почему можно использовать пробные функции для оценки у только в нариационном принципе (3.1.10), а не в первоначальном уравнении (3,1.8)?
Вопрос 3.1.5- Можно ли построить вариационный принцип в том случае, когда условия (3.19) на границе не ныполняются?
Легко показать, что неустойчивость существует тогда и только тогда, когда на некотором уровне в жидкости произведение gdp/dy положительно. Для того чтобы продемонстрировать это с помощью вариационного принципа (3.1.10), выберем для vly такую
пробную функцию, которая равна нулю везде, за исключением уровней, где gdp/dy больше нуля. Для любой такой пробной функции уй>0, хотя не обязательно имеет максимальное значение. Тот факт, что решениями являются оба значения у— + |у| и у — — !"Yb указывает на то, что неустойчивость сохраняется при обращении времени. Инкремент не зависит от р, но непосредственно связан с обратной величиной характерного масштаба градиента А = р/(др/ду). Наиболее короткие длины волн ?2->-оо являются наиболее неустойчивыми, стремясь в пределе к конечной точке сгущения для у3. Если gdpjdy везде отрицательно, то все пробные функции приводят к отрицательным значениям у2, указывая па то, что имеются только устойчивые колебания. Чандрасскар [1] показал, как можно построить вариационный принцип в том случае, когда в рассмотрение включены простые модели для вязкости и поверхностного натяжении. Вязкость влияет на инкремент, но не приводит к стабилизации. Поверхностное натяжение стабилизирует наиболее коротковолновые поперечные волны.
Нелинейная эволюция неустойчивости Рэлея— Тейлора была изучена экспериментально в работе [3]. Возмущения легкой жидкости нарастают в виде вытянутых пузырей, в то время как тяжелая жидкость стекает вниз между этими пузырями в виде тонких волокон или листов. Экспоненциальное нарастание неустойчивости сменяется линейным ростом во времени в тот момент, когда амплитуда колебаний достигает порядка 2,5/?. После такого перехода легкая жидкость всплывает со скоростью
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed