Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
156
Глава 7
бифуркация приводит к появлению надкритических ветвей — в остальных случаях возникающие ветви будут подкритическими. Устойчивость этих различных решений можно проанализировать при помощи соответствующего обобщения теории Флоке, известной из теории обыкновенных дифференциальных уравнений [258, 349]. При этом вновь оказывается, что надкритические ветви устойчивы, а подкритические неустойчивы.
Условия отсутствия потоков на границах
Мы уже неоднократно отмечали, что в соответствии с разд. 7,4 в данном случае первая бифуркация приводит к пространственно-однородному предельному циклу. Этот цикл можно получить в рамках теории бифуркаций, используя подход, аналогичный изложенному в предыдущем подразделе. Прежде всего запишем комплексное нормированное решение линеаризованного сопряженного уравнения следующим образом:
(/мМ-^-'О^ (7-97а)
Тогда действительное нормированное решение этого уравнения имеет вид
/ х\ (т) "\ _ / соэ т \ \у^)Г\В*9соъ{ч + ЩУ {7"97б>
где р и 8 соответствуют бифуркации при Во [см. (7.92) ддя О{ = 0]
1
А л/ТР+Т ' 1
д/д5 +1 '
5Іп Є--¦ 1 . , (7.98)
где
В0 = А1 + \.
Теперь из условия совместимости для а2 можно вычислить величины VI и а>1. Как и ранее, получаем
vi = 0, ©1 = 0. (7.99)
Таким образом, уравнение для ^ можно решить в явном
виде и использовать в условии совместимости для «з при определении у2 и 0)2- При этом получены следующие результаты [11,12].
Простые автокаталитаческие модели
1S7
Величина у2 положительна; это означает, что существует надкритическая бифуркация, приводящая к возникновению асимптотически устойчивой траектории.
Величина m всегда Отрицательна; следовательно, период колебаний возрастает по мере приближения значения В к Вц.
Конечное выражение для имеет вид
\9(f)) \ *о / V Вар cos (Qt -f- б)
+ ф~0 Uo + *cos(2a+?1)r
Й(В) = ЛЧ- В~!,~лг аа (ш2<0). (7.100)
Фа
Коэффициенты ф0, а, bo, Ь, H>i, ф! явным образом зависят От параметра А; эти функции приведены в статье Охмути и Нико-лиса [11].
7.13. КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВО ВРЕМЕНИ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР
Синхронизация, обусловленная диффузионным сопряжением
Как было показано в разд. 7.12, для тримолекулярной модели в отсутствие диффузии все концентрации испытывают колебания в каждой точке пространства, если только В ~> Во. При включении диффузии эти локальные колебания становятся сопряженными за счет появления в уравнениях члена, пропорционального «константе сопряжения» О,//2, как следует из третьей части разд. 7.8. Тот факт, что при наличии диффузии система достигает единственного асимптотического состояния, означает, Что такое сопряжение при определенных-условиях может привести к синхронизации локальных колебаний с образованием полностью воспроизводимого после каждого периода сдвига фаз.
Ясно, что это важное свойство является следствием того, что система имеет конечные размеры. В неограниченной среде достижение единственного асимптотического состояния не является обязательным. Более того, возможны такие ситуации, когда импульс химической активности распространяется вдоль системы и оставляет позади себя покоящуюся среду. В некоторых случаях Может возникать периодическое решение в виде последовательности плоских волн ]178, 205, 297, 298]. Однако при этом имеется
758
Глава 7
одн опара метрическое семейство решений, в котором амплитуда может быть задана заранее произвольным образом. В противоположность этому уравнение (7.96) описывает такое распределение, для которого частота, амплитуды и длина волны определяются свойствами системы независимо От вида начального воздействия па среду.
Другое важное различие между ограниченной и неограниченной средами обусловлено влиянием диффузии. Как неоднократно было показано в настоящей главе, возникновение устойчивых пространственных распределений в изначально однородной среде с необходимостью является результатом неустойчивости, вносимой диффузией. Такая неустойчивость может привести к мало-амплитудным, или релаксапионпо-подобпым, пространственно-временным распределениям*) в зависимости от расстояния до критического значения параметра бифуркации. Вместе с тем изучение решений в виде плоских воли в неограниченных средах наряду с некоторыми экспериментальными наблюдениями привело к концепции кинематических волн, или псевдоволн [205]. Волновые решения рассматриваются как результат слабого сопряжения между локальными осцилляторами, способными функционировать в режиме предельного цикла, но не синхронизующимися полностью; поэтому и возникает режим волнового типа, Таким образом, в данном случае отсутствует диффузионная неустойчивость, хотя для функционирования локальных осцилляторов необходимо, чтобы стационарное состояние было неустойчивым по отношению к образованию предельного цикла. Ясно, что в ограниченных системах этот тип поведения представляет лишь состояние, переходное к одному из асимптотических решений, рассмотренных в разд. 7.12,
Существование скорости распространения
Уравнение (7.96) описывает суперпозицию стоячих волн с двумя различными частотами Й и 2Й. Таким образом, каждый член в этом уравнении соответствует изменению концентраций во времени, которое подобно колебанию струны, Важно то, что при выполнении определенных условий такая суперпозиция может привести к возникновению распространяющихся фронтов, которые могут существовать в течение какой-то доли периода (схему см, на рис, 7.26).
