Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
^ коэффициенты ап входят параметры от у[ до у„_! и решения °т к\, У\ Д° Хп-\, уп-\. С учетом небольших изменений в обозца-
752
Глава 7
чениях, принятых в настоящем разделе, несколько первых коэффициентов имеют следующий вид: . -
Oi = 0,
<ъ=ъ*1 + (vi + пг * +2Л^) +2Лгл+ "^Г" + ¦ <7-87)
Подставляя эти коэффициенты в (7.86), в первом порядке находим
fc-?-(*)-l.(*)~0. (7.88)
Уравнение (7.88) имеет тот же вид, что и линеаризованное вблизи термодинамической ветви уравнение (7.18). Таким обра-
зом, решение | I пропорционально (комплексным) собствен-
ным функциям Lm, соответствующим собственным значениям tam = rfc ipm. Рассмотрим отдельно случаи условий Дирихле и отсутствия потоков на границах.
Условия Дирихле
Рассмотрим снова отрезок длиной I. С учетом уравнения (7.42а) имеем
где k — произвольная постоянная.
При п > I уравнение (7.86) является неоднородным линейным уравнением. Как подробно обсуждалось в разд. 7.5, при выполнении условий совместимости это уравнение имеет периодическое решение с периодом 2л. Согласно альтернативе Фред-гольма [349], необходимо, чтобы правая часть уравнения (7.86) была ортогональна векторам
«-(?)-(?)*"¦ ^ (7-90)
где черта означает комплексное сопряжение и I ^, J— собственный вектор сопряженного оператора Lm [см. уравнение (7.43)]:
Простые автоавталитические модели
153
Здесь, как и в соотношении (7.52), скалярное произведение определено в гильбертовом пространстве с последующим интегрированием решения, выраженного через безразмерную переменную т, по периоду 2л.
С учетом уравнения (7-86) соответствующий альтернативе Фредгольма член можно записать в явном виде следующим образом:
2л 1
\ \ [** (г, 0 - У* (г, 01 я« (г, т) dr ax = о и
л-1 2л 1
=ZfflftS S (**"?t xn-k+y" 4%-yn-k)drdx=
' о о
п-[ 2л 1
= -ZM \ {xn-k^-±yn-k^-)drdr. (7.91а)
Для каждого п Это уравнение эквивалентно двум действительным уравнениям, которые достаточны для определения фигурирующих в разложении (7.85) параметров yn~i и а>„-[. Зная эти параметры, можно решить второе из уравнений (7-85) относн-
тельно е. а также уравнение (7-86)— относительно I I. Подставляя найденные функции в первое из соотношений (7-85), можно получить разложение искомого решения в сходящийся ряд при достаточно малых е. Таким образом, получается аналитическое выражение для решения
Воспроизведем кратко соответствующие расчеты вплоть до членов второго порядка по е. Прежде всего построим собственный вектор
Нормировку выберем так, чтобы с+ = с~ = 1. После этого из соответствующих линеаризованных уравнений (см, разд. 7.4) находим
c± = fi1pe±iB,
где
р2 = [(По^)2 + кГ.
s?n6 = p1[(^ + D2-f)2 + ^]",/l
154
Глава t
и [см. уравнение (7.28)!
й 1*
ф\ ¦ (7.92)
сопряженной задачи*
Комплексное нормированное решение^ ^» ^ имеет вид (при данном выборе с2~)
в то время как действительное нормированное решение уравнения (7.88) определяется как
fxdr, *)\f У i/i (г, т) ) \
cos т ??pcos (т + 6)
(7.936)
В качестве следующего шага изучим решение уравнения (7.86) при п = 2:
Из уравнений (7 87) и (7.936) можно найгн явное выражение] для коэффициента (Хг\
Яг ,
а2 = У) cost sm — -r
+ (-х- cos2 т + 2AB,p cos t cos (т + 6)) sin2—. (7.95)
Теперь можно подробно рассмотреть условие совместимости (7.91). Имеем:
singar J a-J1drX
о о
X ["?[ cosт + (х cos2 т + 2Лй[Р cos т cos(т + 6)) sin-y^] =
i 2л
= (?>i J sin' ^?-dr J [— e-^sinT + ni^V^e-'' sin(T + Q)]dt.
(i (i
(7.95a)
Вследствие того что Oa квадратично по cost, после интегрирования в левой части исчезают все члены, кроме ¦yicosi. Замечая
Простые автокаталитические модели
155
также, что
2я
co&xdx — п,
и
2л
\
г . . , Q. f sin хйт f лес
0J (. cos тдт I, Я S[
osB inB
уравнение (7.95а) можно представить в более простом виде я (1 + ЛVе) у, = ш, - иг [- 1 - В1 Дуг8»].
Выделяя в этом соотношении действительную и мнимую части, а также учитывая, что в соответствии с уравнением (7.92) 1 -т-А1ре19фО, мы приходим к следующему заключению:
у, = 0, ш1<=0. (7,956)
Теперь можно найти явное решение уравнения (7.94) относительно ^ 2 ^ методом разложения в ряд Фурье.
Подставляя найденные величины в условие совместимости, содержашее аз (и тем самым х1, уь х2, у2), можно рассчитать гаг и у2. Ввиду громоздкости этих расчетов здесь они приводиться не будут {см, |Н]). Вместо этого приведем только вид выражения, которое получается после определения величин е, (02, х2 и i/, и их подстановки в выражение (7.85):
\у(г,ц/ \ #, ) \ а1Рсо8<а* + е)) I
*' „ *-| 1ь* + 64 51п (20/+ ф0 J 1
к нечетное .
0=Р[ + -^^-о2. (7.96)
*1 ¦
Фигурирующие здесь величины р и В были определены соотношением (7.92), а ^1, (иг, с*. Ьи, о*, ерь даются уже известными выражениями в зависимости от коэффициентов А, О) и Д..
Отметим, что в данном случае знаки ± перед первым членом необязательны, поскольку тригонометрические функции зцако-иеременны внутри одного периода. Другим примечательным свойством уравнения (7.96) является то, что оно дает первые члены гармонического ряда с определенным периодом 2я/0. Наконец, если коэффициент ф в уравнении ?7.96) положителен, то
