Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
6.2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Первая теоретическая модель, предсказывающая возникновение незатухающих колебаний, была изложена в работе Лотка [238]. Ей соответствует следующая схема:
А + хЛгх,
Х + У-^2У, (8.1)
у + вЛе + в.
Внутри реакционного объема концентрации веществ А и В поддерживаются постоянными и однородными, т. е. система является открытой. Вследствие наличия двух автокаталитических стадий соответствующие скорости реакций квадратичны по X и У.
172
Глава 8
Уравнения баланса массы записываются следующим образом:
dX dt
= ktAX ~ k2XY,
^ = к2ХУ -к3ВУ.
Эти уравнения допускают единственное нетривиальное решение
Ха = ^. Уа=^. (8.3а)
а также тривиальное решение
Хо=уо = 0. (8.3С)
Движение системы вблизи этих состояний можно исследовать при помощи линейного анализа устойчивости аналогично тому, как это было сделано в гл. 6 и разд. 7.4. Можно показать [127, 270], что тривиальное решение является и седловой точкой (и тем самым всегда неустойчиво), в то время как нетривиальное решение является центром. Следовательно, малые отклонения от решения (8.3а) представляют периодические функции с общей частотой (о0, зависящей от описывающих систему параметров:
щ = ±1(к!к,АВ)'!г. (8.4)
Чтобы изучить высокоамплитудные движения вблизи (8.3а), введем новые переменные [199, 401]
и = \пХ, . v = lnY (8.5)
и потребуем, чтобы эти переменные удовлетворяли уравнениям
dt
(8-6>
ач , a t г, с к2е — k3B = U.
Умножая обе части уравнений (8.6) на (к2еи — кяВ) и (k2ev ~- к\А) соответственно и складывая их почленно, получим важный результат — уравнения (8.6) имеют следующий интеграл движения:
Т=к2 (ea + ev) - hBu — kiAv =
= k2 (X + У) — k3B In X — k,A In У — const. (8.7)
Очевидно, соотношение (8.7) определяет бесконечное многообразие траекторий в фазовом пространстве в соответствии с различными начальными условиями. При X и У, близких к стационарному состоянию (случай малых возмущений), эти траектории
Диссипагивные структуры и явления самооргипизации
превращаются в концентрические эллипсы. В самом деле, разлагая (8.7) в окрестности л0, Уа и учитывая члены в первом неис-чезающем порядке, получаем
¦ (Х7х*а)* + 17 жУ/ =С0П51=тг <г - <8'8>
При конечных (X— Х0), (У—У0) траектории деформируются, но остаются замкнутыми, если только У не превышает некоторого критического значения [76]. Таким образом, конечные Отклонения от {Хц, Уо) также являются периодическими (см. рис. 8.1). Период Т движения по этим траекториям был вычислен аналитически в работе Фрама [110]. Можно показать, что каждая траектория имеет собственный период, зависящий от постоянной У, т. е. от начальных условий. Следовательно, модель Лотка -¦— Вольтерра характеризуется непрерывным спектром частот, связанным с существованием бесконечного числа периодических траекторий. Этот момент очень важен, поскольку из него следует отсутствие асимптотической орбитальной устойчивости [см. равенство (8,4)}, т. е. отсутствие затухания
0,2 0,5 1,0 7,6 2,0 2,5
X
Рис. 8.1. Периодические решения в подели Лотка — Вольтерра, полученные Для последовательно возрастающих значений интеграла движения У при ^зВ/^а = й]Л/йг = 1; 5 — стационарное состояние.
174
Глава 8
флуктуации. В результате наложения малых возмущений система непрерывно «путешествует» но орбитам с различными частотами, причем какая-либо «средняя», предпочтительная орбита отсутствует. Эти колебания могут описывать только шум, но никак не физически наблюдаемые периодические эффекты, характеризуемые строго определенными амплитудами и периодами.
Дальнейшие следствия существования интеграла движения можно получить, комбинируя уравнения (8,6) и (8.7) и учитывая, что
*__аг_
>]~ до '
, ОТ
где
диди диди ' \ ' I
Мы видим, что в переменных (и, V) эта модель допускает (регулярный) первый интеграл Т и представляет собой консервативную систему. Параметр Т играет ту же роль, что и энергия в механике, как это видно из уравнений (8.9), имеющих «тамил ь-тонову» форму.
Интуитивно можно заключить, что консервативная система не может быть структурно устойчивой в том смысле, как ЭТО было определено в разд. 5.4 [6]. Это служит дополнительным аргументом против использования моделей такого рода в качестве моделей колебаний, наблюдаемых в природе. Существенно иными свойствами обладают модели, в которых колебания возникают после потери устойчивости. Как подробно обсуждалось в предыдущей главе, этим колебаниям присуща и асимптотическая, и структурная устойчивость, что обеспечивает строгую воспроизводимость поведения системы во времени.
Интересно отметить, что при некоторых, особых значениях параметров неконсервативная система, допускающая колебания в режиме предельного цикла, может быть сведена к консервативной системе. Чтобы показать это, рассмотрим систему с двумя Промежуточными переменными вблизи порога асимптотически орбитально устойчивого периодического движения. Согласно гл. 6, матрица коэффициентов линеаризованных уравнений баланса массы допускает пару чисто мнимых корней. В обозначениях разд, 6.5 имеем
