Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Случай 1 (рис. 7.23):
Соответствующий профиль концентрации X показан на рис. 7.21. Сравнение с результатами теоретического анализа показывает, что, хотя функция г (г) должна иметь осцилляторный характер Внутри интервала (га г., гог), размер численно найденной дисси-иативной структуры оказывается гораздо меньше предсказанного теоретически. Это можно объяснить тем фактом, что длина волны осциллягорного решения (7.82) изменяется в зависимости от г так, что вблизи точек поворота она становится очень большой. Таким образом, осцилляции могут оказаться пренебрежимо малыми, в результате чего становится трудно точно определить границы дисенпативной структуры, ^
Случай 2 (рис. 7,24):
Соответствующий профиль концентрации X показан на рис. 7.22.
В то время как теоретические расчеты предсказывают полиостью делокалпзовапную днесипативную структуру, численные расчеты показывают, что решение имеет пеосцилляторный характер вблизи границ и структура локализована в пределах,
Глава 7
О 0,5 1.
Пространство, произвольные единицы
Рис. 7.23. Пространственная зависимость величин В+, Б. и Р при значениях параметров, соответствующих рис. 7.21.
0,3 1
Проотранст§о, произвольные единицы
Рве 7.24. Пространствен на и зависимость величин В+, в— и Р при значениях параметров, соответствующих рис. 7.22. ]
с 7.25. Удвоение диосипативпой структуры при последовательно возражающих значениях параметра В. Коэффициент диффузии компонента А срав-ительно невелик ф = 0,026).
ISO
Глава 7
определяемых условием F(r) = B+(r). Как и ранее, это можно объяснить неоднородностью длины волны, вызывающей различный характер колебаний вблизи Гранин (длинные волны) и в средней области (короткие волны). Вследствие этого вблизи границ решение оказывается иеосцилляторным.
При очень низких значениях коэффициента диффузии D наблюдается ярко выраженная депрессия К вблизи середины си-стемь[ и, кроме того, удвоение диссипативнон структуры (см. рцс. 7.25). Соответствующие теоретические расчеты должны привести к возникновению дополнительных точек поворота, разделяющих обе области диссипативных структур. В самом деле, поскольку в этом случае F(r) может претерпевать значительные изменения в пространстве, наблюдаемая депрессия в средней области могла бы соответствовать случаю F(r)<i В-(г) вблизи г = 1/2. Что означало бы неосцилляторное поведение решения в этой области.
Наконец, локализованным диссипативным структурам в случае однородного распределения А присущи как вырождение, так и множественность решений.
Возможность самопроизвольного образования естественных границ, заключающих в себе диссипативные структуры, может иметь большое значение. Локализация является эффективным средством улучшения устойчивости структуры по отношению к внешним возмущениям благодаря возникновению «буферной зоны», образованной термодинамической ветвью. Кроме того, способность к концентрации химически активных соединений в ограниченном пространстве значительно увеличивает вероятность осуществления некоторых ключевых реакций, которые впоследствии Могут привести к дальнейшей эволюции.
7.12. БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВО ВРЕМЕНИ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР
В соответствии с линейным анализом устойчивости, изложенным в разд. 7.4, при переходе параметра бифуркации В через критическое значение ?, определяемое соотношением (7,33), линеаризованный оператор L дает два чисто мнимых собственных значения. Если В превышает первое критическое значение В совместимое с граничными условиями, то можно ожидать, что уравнения будут иметь устойчивое периодическое решение. Это явление, называемое бифуркацией Хопфа ?175), уже известно в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, где оцо приводит к возникновению предельных циклов. В настоящем разделе мы проанализируем периодические во времени решения в присутствии диффузионных процессов. Можно сказать, что в
Простые айтокйталитаческие модели
151
некотором смысле мы будем искать предельные циклы в соответствующем функциональном пространстве, аналогичном обычному фазовому пространству, известному в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Будем считать, что условие (7.36) выполняется и что первая бифуркация на термодинамической ветви приводит к периодическим во времени решениям.
Перепишем кинетические уравнения в форме, аналогичной (7.46), с учетом производных по времени:
*\у)
где
Более подробно мы будем исследовать бифуркации, происходящие при Во и В[. Граничные условия здесь те же, что и для (7.22). Пусть периодом решения является величина 2л/Й, где Й = ?3 (В — Вт) ¦ Введем безразмерную переменную
т=.?Ы (7.84)
и будем искать периодические по этой переменной решения с периодом 2л. В частности, пас будут интересовать решения с малой амплитудой вблизи В — Вт и с частотой вблизи тт, где (1>т — собственное значение линеаризованного оператора. Как и в разд. 7.5, разложим величины х, у, В и й по степеням параметра е [349]:
СЬ(:;М:;)+--
й = йт + еу1 + е2уз+ ....
?> = р,т + еш, + еЧшя+ .... (7.85)
где
рт = 1гткот.
Подставляя эти выражения в уравнение (7.83) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
