Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Х(Щ = Х(1), 7(0) = У (О,
(7.67)
где I— длина замкнутой координатной кривой, принадлежащей поверхности. Для упрощения мы будем здесь рассматривать, лишь кольцо с периметром I.
Изложенные в предыдущих разделах расчеты можно провести и в этом случае. Отличие состоит в том, что вместо выражений (7,24) или (7,25) критическая мода теперь имеет вид
= 0, !, ...).
(7.68)
Соотношения (7.33) и (7.34) остаются в силе, только член пя/1 следует заменить на 2пп/1.
0 1
Прострйттда, (щ/здатше единщы
Рис. 7.18. Стационарные профили концентрации X при п ростра не гневно ¦ периодических граничных условиях = Х,,?м+1 =1'() и прн различных
начальных условиях,
Сплошная линия! начальное условие соответствует йХ= + 0.02 в точка к 9и 2(; пунктирна я линия? оХ^э-ч-О.ОЭ в точке 2|; штрих-пункт ирная линия? начальное возмущение оЛГ:= + 0,и^
в точке Э. Значения параметров: Л=2, ;°=1.0| В = 4,6, Д, = |,6 ¦ 10-а, ?»1=8,0 > 1й-й (Вс — .?,598 н тс=\).
Простые автокаталитические модели
141
Численные расчеты были проведены путем разбиения кольца на М одинаковых интервалов [159, 160J. Условия (7.67) приобретают вид
Как н ранее, за неустойчивостью возникают пространственно-неоднородные решения, обладающие строгой пространственной периодичностью. По-видимому, эти структуры сильно зависят от начальных условий. Однако возможна суперпозиция всех этих структур за счет трансляции, и в пределе «непрерывного» пространства можно было бы получить бесконечный набор решений, отличающихся лишь фазой (см. рис. 7.18).
7.11. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ДИССИПДТНВНЫЕ СТРУКТУРЫ
Введение
Описанные в предыдущих разделах пространственные дисси-пативные структуры распространяются па систему в целом. Это является следствием предположения об однородной среде, в которой концентрации исходных веществ А и В поддерживаются однородными в пространстве. Ясно, что такая ситуация является идеализированной — в реальном физико-хнмическо?л эксперименте реагенты вводятся в реакционный объем через границы. В лучшем случае концентрации или потоки веществ могут регулироваться только на этих границах. Таким образом, для три-молекулярпой схемы можно ожидать, что вещества А и В будут диффундировать в среде, что должно привести к установлению определенных концентрационных профилей. В настоящем разделе мы проанализируем переходные явления в таких условиях, когда концентрация Л не считается заданной по всей системе. При этом концентрацию В будем по-прежнему считать однородной. Как будет показано, такая «пространственная дисперсия» А приводит к локализации дпссипативных структур внутри некоторых естественных границ [10, 39].
Кинетические уравнения для промежуточных продуктов X и Y имеют вид (7.13), где в данном случае концентрация А изменяется в пространстве и во времени согласно уравнению
М = - Л + D |? (0 < г < /). (7.69)
Для А примем следующие граничные условия:
А{0) = А(1)'=А,
142
Глава 7
а для концентраций К и V примем условия Дирихле со значениями на границах
Х = А, У^~. (7.70)
Для простоты положим / = 1. Не составляет труда найти стационарное решение уравнения (7.69):
где
Вследствие пространственной зависимости Ад теперь уже не удается найти точные выражения для принадлежащих термодинамической ветви стационарных решений Ха(г) и Уо{г). Тем не менее можно установить некоторую схему последовательных приближений для следующего предельного случая:
•0.
D ' D
Используя в качестве малых параметров эти два отношения, а также величину \/D, в первом приближении имеем [10]
Л0 = Л [l + ^-г (г ~ 1)] + О (/Г*), X, - Л [l + ± г (г - 1)] + О (УГЧ П = -4 [l - -~ г (г - 1)] + О (ґГ'л). (7.72)
Рассмотрим возможность существования дополнительных стационарных решений типа диссипативных структур. Вследствие пространственной дисперсии аналитически исследовать устойчивость термодинамической ветви (7.72) невозможно. Для изучения этого вопроса Гершкович-Кауфман и Платен И611 применили вариационный метод, известный под названием теории локального потенциала [127]. Их результаты представлены на рис. 7.19 в виде диаграммы устойчивости на плоскости (?S, D5) при фиксированных Л,. Di и D. Эта схема показывает существование области 11, в которой возмущения вблизи термодинамической ветви подвержены неосцилляторному усилению. По-видимому, в этой области стационарное решение типа дис-сипативной структуры претерпевает бифуркацию. Сейчас мы
Простые автокаталатаческж модели
143
в
-
7S ш
\ 1 1
so - 1 \ п р 1 \ ч
25 1 1
0 1 2 J
Рис. 7.19. Диаграмма устойчивости а пространстве параметров В и D» (Л=> 14, D = 0,195, D, = 1,05. 10"').
i — область устойчивости термодинамической яствч, П — область возникиодепин локализованной стационарное днссчпативной структуры, iii —область воапиквовепия периода* чесмтя решении.
займемся построением аналитических решений уравнений, описывавши* данную диссипагинкую структуру и линеаризованных вблизи термодинамической ветви. Нелинейный анализ с использованием теории бифуркашш проводится точно так же, как в предыдущих разделах, и поэтому здесь не рассматривается.
