Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Аналитическое построение локализованных диссипативных структур
Рассмотрим уравнение (7AS), в котором dxfdt = dyfit~О Складывая оба уравнения, получим
Dlx" + D2y"-y = 0.
Пусть
Теперь уравнения (7.21) можно заменить одним уравнением четвертого порядка;
D, V" + [(2Vo - В - 1) Dt - DtXl] г" + X\z = 0. (7.73)
Известно, что при постоянных Х0 и К0 это уравнение допускает решение вида exp (ikr). Если коэффициенты зависят от пространственных координат, естественнее всего искать решение в
Виде
z(r) = exp(,4r)). (7.74)
тле f(r) — медленно изменяющаяся функция г,
144
Глава 7
Пренебрегая всеми производными ф. Кроме первой (аналогично тому, как это делается в известном в квантовой механике Приближенном методе В КБ), получаем
DP2 (ФУ + [(2Х/Й - В - 1) D2 - DtXl] (фУ + X» «= 0. (7.75)
Решение этого уравнения имеет вид
±?7 л/(Р(гТ=В+ [г))(F(r) - В- (г)7, (7.76)
где
F(r) = 2Xu(r)YQ(r)-B,
B, = [x,(r)^/^±l]2. (7.77)
Из уравнения (7.75) очевидно, что никогда не бывает, чтобы
ф'(г)2^0.
Если бы это было так, то мы имели бы xl(r) = 0, что невозможно. Однако ф'(г) может переходить из действительной области в комплексную, если так изменяется правая часть уравнения (7-76). На самом деле из уравнения (7,76) следует, что ф'(г) может быть действительным лишь при выполнении условий
F(0< 1+%Щг)
и
F(0>S+(0 или F(0<S_(r). (7.78)
Для рассматриваемой задачи эти условия выполняются в одних областях пространства и нарушаются в других, Границы между обоими типами решения называются точками поворота уравнения. С одной стороны от точки поворота решение z (г) является монотонным [производная ф'{г) действительна], а с другой стороны z(r) имеет осцилляторный характер [ф'(г) комплексна] ,
Условие возникновения точки поворота в данной задаче несколько отличается от известного в случае уравнения второго порядка [99]
2"+ f (02 = 0,
когда точка поворота должна удовлетворять условию
ф'(/)^0,
которое, как было показано, никогда не выполняется в рассматриваемой задаче,
Простые автокаталитические модели
145
Если F(r)> В+(г), то первое из условий (7.78) нарушается, так что в этом случае точка поворота не возникает и реализуется только делокализованная структура.
Если F(/")^ В_(г), то первое из условий (7,78) выполняется автоматически- При этом точки поворота определяются следующим соотношением: _
2Х0(г)ВД-В=[х0(г)д/^- i] • (7.79)
Используя для Хй, Yq приближенные выражения, можно переписать это уравнение в виде
г2 - г + Р = О, ГДе IB - D "
Р==^Г~ 4a?X{k- 1) " (от)"'
Корни этого уравнения определяются формулой
Очевидно, при 0 ^ р <.-^ мы имеем 0< г- < r+ < 1, так
что г_ и г+ расположены симметрично относительно точки г=1/з, В крайних интервалах 0 ^ г <и г+</" ^ 1 функция г (г) монотонна, а в среднем интервале г_ < г *< г+ эта функция имеет осцилляторный характер.
При р->-0 точки поворота «вытесняются» на границы г = 0 и /¦ = I. В терминах параметра Л это означает, что *
Б<БГ^(ЛЛ/^--!)2. Размер диссипативной структуры приблизительно равен
При больших а эта функция является убывающей, Некоторые из рассмотренных соотношений иллюстрируются на рис. 7-20 [см. также уравнение (7.72)).
Чтобы найти вид г(г) в окрестности точек поворота, необходимо использовать приближенное выражение для ф'(г) вблизи этих точек, Сохраняя несколько первых членов разложения в ряд Тейлора вблизи г-, можно получить [10]
2 (л) сх ехр [/ (const) X (' - г_)'Л]. (7.81)
Таким образом, получается нссинусоидальная функция, Контакта в показателе экспоненты зависит or Du D2, В я Л,
146
Глава 7
в;
ал/о
Рис, 7.20, Изменения в пространстве величии В+, В- н Р в случае очень быстрой диффузии компонента А.
L
Если же рассматривать окрестность точки г= [/2, получается решение совершенно иного вида:
z (г) <х exp [i (const) X {г ~ -|-)]. т. е. здесь решение приблизительно синусоидально.
(7.82)
Сравнение с результатами численных расчетов
Существование локализованных диссипативных структур, ограниченных точками поворота внутри реакционного объема, было полностью подтверждено результатами численных расчетов (159, ?60, 162). На рис. 7.21 приведены типичные концентрационные профили промежуточного продукта X. Рис. 7,22 иллюстрирует зависимость положения точек поворота от параметров. Следует, однако, отметить, что большинство численных расчетов было выполнено при таких значениях D\, D2 и D, что функции F(r) и В±(г) претерпевают значительные изменения на интервале (0, 1) в противоположность ситуации, изображенной на
X 75
W
5
0 0,5 7
Пространств произвольные единицы
Ряс 7,21. Локализованная днесипативная структура при D = 0,1972, р^=» 1,052. Ю-3, D? = 5,26. \0~\ <[== 1, X = Я=Н, S = 24, Г=В/Л = 1,7!.
Простые ййтокаталитические Модели
147
15
°;
^ 10
I
11
О 0,5 ' 1
Пространотдо
Рис. 7.22. Локализованная диссипативиая структура при тех же условиях что и нэ ряс. 7.2, но В = 30 и У= В/А = 2,14,
рис. 7.20 и соответствующей теоретическим расчетам. Вследствие этого условие Р(г)<. В+(г) никогда не выполняется для всех г из интервала (0, 1), Соответствующие результаты численных расчетов изображены на рис. 7.23 и 7.24.
