Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 44

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 171 >> Следующая

554
130
Глава ?
7.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ВТОРИЧНЫЕ БИФУРКАЦИИ
Если т не равно критическому числу те, то в результате бифуркации однородного решения возникает новая ветвь каждый раз, как только В принимает значение В = Вт, задаваемое равенством (7,34), по крайней мере в тех случаях, когда 0 является простым собственным значением оператора LBn?. Эти новые решения сходны с описанными выше решениями в результате бифуркации при В = Вс, с тем отличием, что теперь в качестве основной моды вместо sin (тслг//) или cos (тспг/1) фигурируют sin (тпг/1) или cos (тяг/1), При четном т новые ветви вырождены и имеют критический показатель степени '/а, в то время как в случае условий Дирихле и нечетном т новая ветвь аналогична описанным во второй части разд. 7.6.
Как н в окрестности Вт > Втс, оператор ?В/я имеет уже по меньшей мере одно положительное значение, причем новые ветви неустойчивы вблизи Вт. К сожалению, нам неизвестно, в каких областях, если таковые существуют, эти новые ветви становятся устойчивыми,
Если В значительно превышает Вс, возможен ряд диссипа-тивпых структур; некоторые из них оказываются устойчивыми по отношению к малым возмущениям, Такую ситуацию можно изобразить при помощи диаграммы, показанной на рис, 7,10.
На рис. 7,10 бифуркация вегви / происходит при В = Вс, однако ветви 2 и 3 испытывают бифуркацию при В >- Вс. Из этого рисунка видно, что при В > Ва может иметься семь различных решений.
Если после первой бифуркации система находится на ветви 1, то не видно причины, вследствие которой система могла бы перейти на ветви 2 или 3, отходящие от термодинамической ветви. Иными словами, находясь на ветви 1, система имеет дополнительные возможности к усложнению, если ветвь 1 сама те-
Рис. 7.10, Возкпкяоаеняе последовательных первичных бифуркаций на термодинамической ветви.
Простые автокаталитические модели
131
ряет устойчивость за счет новой бифуркации. Такого рода каскадные явления обычно называют вторичными бифуркациями. Их существование в случае тримолекулярной модели было установлено аналитически Махаром и Матковскым [240]; независимо к такому же выводу привели результаты численного моделирования в работе Гершкович-Кауфман [160]. Этот результат чрезвычайно важен, особенно в связи с биологическими проблемами. Только благодаря бифуркациям второго и более высокого порядка эволюционирующая система может спонтанно привести к прогрессирующе сложным структурам, возникающим в виде последовательных неустойчивостей.
Опишем кратко метод Махара — Матковского в случае фиксированных граничных условий. В соответствии с линейным анализом устойчивости нулевое собственное значение оператора Lc является двукратно вырожденным при условии, что [см. уравнение (7.38)]
Таким образом, если только S отклоняется от нуля, это значение служит мерой расстояния между двумя наименьшими собственными значениями, соответствующими, скажем, шс и mc + 1. При обращении o в нуль оба собственных значения сливаются и образуют двукратно вырожденное собственное значение. При малом S^O первая исходная ветвь, испытывающая бифуркацию при Вщ, соответствует моде sin ШеПгЦ, в то время как вторая исходная ветвь, претерпевающая бифуркацию при Bme+i, соответствует моде sin[(mc-T- 1)пт/7].
Теперь легко найти систематическое разложение ВЩс, Bm?+J по степеням S вблизи значения Вс, соответствующего двукратно вырожденному собственному значению. Далее, ло теории бифуркаций, как и в предыдущих разделах определяется каждая из исходных ветвей. Чтобы продемонстрировать основные моменты, рассмотрим случай нечетного тс. Имеем:
Вв = ВтМ+ Sv/, (7.61)
где индекс р обозначает исходную ветвь. Используя условия разрешимости для тс, получаем
\Ур) У 1 + < (о) i V Атс(Ь) )^ "
с

132
Глава 7
где
С = *«. <*) - е ?7 С^Г1 + 2^ («О + О (в*), (7.62) и для тс + 1
+ 2Л (Й, + Атс+] (б) Й,) } + О (е-3). (7.63)
Здесь а и Лт(5)—амплитуда и отношение у/х, соответствующие собственным функциям нуль-пространства:
В соответствии с линеаризованными уравнениями Ат зависит от 6 и, следовательно, может быть разложено по степеням этого параметра вблизи значения Ат. Наконец, 5, и — однозначно определенные коэффициенты, содержащие вклад от бесконечного ряда, появляющегося при вычислении коэффициента у2. Следующий шаг — отыскание таких точек па исходной ветви
Врс или ВРС , в которых вторичные ветви могут испытать бифуркацию. Отметим, что исходные ветви являются функциями параметров г и 5. По этой причине мы будем рассматривать б так же, как и В в исходной бифуркации, и искать соответствующие «нелинейные собственЕше значения» е„ = еп{5). Эти значения вычисляются путем разложения в ряд теории возмущений по 5 [23]. Итак предположим, что
сьч:х::)+-.
где в качестве параметра разложения принята величина б''1. Подставляя эти выражения в кинетические уравнения, лине-
аризованные вблизи! I, и приравнивая коэффициенты при \ Ур /
одинаковых степенях 5, можно получить ряд соотношений, первое из которых представляет собой линеаризованную задачу
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed