Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 42

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 171 >> Следующая

7.8. КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРВОЙ БИФУРКАЦИИ
Потеря симметрии и критическое поведение
Наиболее важным свойством диссипативиых структур, возникающих по описанному в предыдущих разделах механизму бифуркации, является нарушение симметрии. При переходе через определенное критическое значение параметра }* (или набора параметров) наиболее симметричное решение соответствующих кинетических уравнений теряет устойчивость и система переходит в режим с пониженной пространственной симметрией. В случае нулевых потоков на границах, а также в случае условий Дирихле при четном тс это нарушение симметрии сопровождается двойным вырождением решений, связанным с наличием «критического показателя степени» '/2 Б уравнениях (7.56) и (7.59). Иными словами, после перехода через критическое значение X система имеет одинаковые априорные вероятности попадания на одно из двух решений, причем то или иное решение реализуется в зависимости от начальных условий. Этот важный вопрос мы обсудим в части III. где изложен стохастический анализ диссипативиых структур. Отметим, что в случае отсутствия потоков первое нарушение симметрии приводит к ряду Фурье с однозначной фундаментальной модой cos (тст/1). Напротив, если на Границах системы задается значение функции, то последовательные приближения в терминах параметра (В — Вс) Приводят к нарушению симметрии в приближениях более низкого порядка и пространствснно-ясимметричт'ьш решениям. Это обстоятельство иллюстрируется сравнением xa{r) и ел.-] (г), проведенным на рис. 7,7. В некотором смысле днесипэгнвпые структуры, возникающие при нулевых потоках, можно было бы сравнить с кристаллом, и тогда структуры, возникающие при условиях Дирихле, следовало бы рассматривать как «пеидеаль-ные кристаллы».
В случае условий Дирихле яри нечетном тс реализуется другая ситуация. Здесь уже нельзя говорить о самопроизвольной потере симметрии в подкрцтическои области, так как для перехода от -термодинамической, иетви к ветви д на рис. 7.6 потребовались бы возмущения, превышающие некоторое пороговое значение, связанное с точным расположением неустойчивой ветви е. Однако при В > Вс наиболее вероятно, что произ-
Простые автокаталитические модели
125
Рис. 7,7, К вопросу о пространственной асимметрии, индуцируемой субгармоническими членами в уравнении (7.56).
вольно малые (по все еще макроскопические) положительные возмущения должны приводить к ветви д, а отрицательные—к ветви б.
Сейчас уже можно провести аналогию между образованием днесипатнвных структур и фазовыми переходами, хотя более полное рассмотрение этого вопроса возможно лишь в части III, посвященной стохастической теории флуктуации. Так, в случае гладких переходов, соответствующих рис. 7.5(1) или переходу на ветвь б (рис. 7.6), можно говорить о переходе второго рода [367] в том смысле, что амплитуда испытывающего бифуркацию решения, которая в данном случае играет роль «параметра упорядоченности», стремится к нулю при В^ВС. С другой стороны, в случае, изображенном на рис.. 7.5(11) или при переходе на ветвь д (рис, 7.6), можно говорить о переходе первого рода. Отметим, Что эта чисто условная классификация вряд ли помогает выяснить природу критических флуктуации в области перехода. Этот важный вопрос подробно обсуждается в части III.
В гой мере, в какой приемлема изложенная выше чисто формальная аналогия, структура уравнений (7.56) и (7.59) напоминает некоторые аспекты теории Ландау, посвяшепной фазовым переходам [3(57]. Рассмотрим", например, выражения (7-59). С точностью до величины порядка {В~Вс)'к функции х(г) и У {г) пропорциональны друг Другу. Таким образом, переход через критический режим можно описать при помощи единственного параметра упорядоченности ш, такого, что
II и II2 = II х \? + \\уГ--^--, (7.60а)
тг.х-
0> —р— + I - ве
гДе двойные вертикальные черточки || [[ используются для обозначения нормы в интервале 0 ^ г ^ /, соответствующей рассматриваемому функциональному пространству.
126
Глава 7
Имеем:
т, е., за исключением несущественного фазового множителя,
0)ОС±(-^?-)*- (7.606)
Кроме того, динамика к> в окрестности критической точки определяется одним дифференциальным уравнением, которое получается путем комбинации дифференциальных уравнений для х и у с учетом соотношения (7.60а). Это послужило основой для разработанного Курамото и Цузуки [214, 215] подхода при рассмотрении химических неустойчивостей, а также для адиабатического приближения, использованного Хакеном [148, 149) для изучения теоретических проблем, связанных с квантовой оптикой. Далее, дифференциальное уравнение для действительной переменной всегда можно получить при помощи некоторого потенциала. Чтобы показать это па простом примере, рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида (6.30)
-?~ = А(\)и> + и(к; да).
Введем интеграл
и
и запишем это уравнение в виде
дш _ дР
Очевидно, что стационарные решения этого уравнения определяются экстремумами К В частности, точки минимума Р определяют устойчивые решения, которые возникают после точки бифуркации, задаваемой равенством (7,606). Это свойство аналогично известной в статистической механике равновесных систем ситуации, когда критическое поведение параметра упорядоченности определяется экстремумами свободной энергии, которая в свою очередь выражается в виде ряда по четным степеням параметра упорядоченности [367]. В этом смысле потенциал р, определяющий параметр ф в уравнении (7.60), является неравновесным аналогом свободной энергии и может рассматриваться как «обобщенный функционал Ландау — Гинзбурга» [145, 148, 149[-
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed