Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Отмстим, что эту процедуру нельзя непосредственно распространять па более высокие порядки по (В— Вс). В этом случае
Простые автокаталитические модели
127
функции х(г) и у(г) уже не пропорциональны друг другу и поведение системы вблизи критической точки нс поддастся более простому описанию при помощи единственного параметра упорядоченности. Обсуждение адиабатических приближений более высоких порядков можно найти в работе Хаксна []49] -
Амплитуды и средние значения
Из явного вида выражений {7,57} и {7,59} следует, что, как правило, полные количества X и У в системе в процессе перехода к диссипативной структуре не сохраняются. В частности, вычисляя интегралы
х=^Лгх (г), у = ^йгу (г),
и о
можно найти, что;
1} в случае условий Дирихле и четного тг величины х и у стремятся к нулю как 0[(В — Вс)'1г], но в следующем приближении они становятся ненулевыми;
2} при нечетном тс величины X и У не сохраняются;
3} в отсутствие потоков на границах величина х обращается в нуль {т. е. X сохраняется} независимо от степени приближения. В самом деле, складывая оба равенства (7,46), находим
*-*(4г):+м-зо:-
Поскольку функции хну являются периодическими в интервале {0, /}, правая часть второго равенства обращается в пуль и, следовательно, х = 0, Напротив, величина у в общем случае остается не равной нулю, Например, из уравнения {7.596} имеем
- 1 в~ве ~ Д (Д! -"|дг/^ + I) + Де У ^ 2 Ф Л3
Тот факт, что величины х и у нс сохраняются, может влиять на функциональные свойства реакционной последовательности. Чтобы проиллюстрировать это обстоятельство, рассмотрим три-молскулярную модель в отсутствие потоков на границах и в таком диапазоне значений параметров, в котором у положительно, " соответствии с равенством (7.Ш) скорость автокаталитической стадии реакции при этом увеличивается, Иными словами, при Условиях, показанных на рис. 7.8, система стремится производить вещество X в этой стадии преимущественно в правой части
128
Глава 7
А
В/А
У(л>
Рис. 7.8. Векторный катализ, индуцируемый полярной диссипативной структурой, которая возникает й отсутствие потоков на границах системы.
реакционного объема. Способность к ускоренному производству некоторых веществ в ограниченной области пространства придает системе замечательные регулЯторные свойства. Кроме того, вследствие полярности показанной на рис. 7.8 структуры эта регуляция проявляется в векторном виде, т.е. каталитическая стадия реакции протекает не изотропно, а в определенном направлении. Явление векторного катализа хороню известно в клеточном метаболизме. Удивительно наблюдать это явление, хотя и в примитивной форме, для простейшей из моделей, в которые могут возникать диссипативные структуры.
Зависимость от длины
До сих пор мы анализировали переход к диссипативной структуре, используя в качестве параметра бифуркации концентрацию начального вещества В. В задачах с постепенным изменением формы или размера системы (например, при изучении клеточного роста или различных других Процессов развития) интересно выяснить роль длины I в процессе формирова-^ ния диссинативных структур [18, 150]. С этой целью перейдем^ к новой пространственной переменной
г
Тогда кинетические уравнения примут вид
М-=А + Х*У~{В+1)Х + ^-%±,
VL=BX-X*y + 2j-^ (O^p^l).
Граничные условия остаются прежними, хотя теперь они отнС| сятся к интервалу (0, I). Таким образом, изменение / можв'
Простые автокаталитические модели
рассматривать как изменение коэффициента диффузии во вновь поставленной задаче. С другой стороны, поскольку коэффициенты D\ и Оч в некотором смысле являются мерой диффузионного сопряжения соседних пространственных областей, при увеличении ; такое сопряжение ослабляется. Если величина В фиксирована, а изменяется играющая роль параметра бифуркации величина /, то остаются Справедливыми все полученные выше результаты, в частности уравнение (7.34). Показанную на рис, 7.2 диаграмму устойчивости можно представить в несколько ином виде, как это сделано на рис. 7.9, При этом величиной m может служить одно из целых чисел, совместимых с граничными условиями (например, пгс). Суть такого представления устойчивости состоит в том, что при данном В имеется некоторая область неустойчивости, характеризуемая различными значениями m и /. Таким образом, переход к дпесипативпон структуре явным образом зависит от длины, Мы не будем обсуждать детали Этой зависимости. Однако можно отметить, что из уравнения (7.34) следует, что условие нейтральной устойчивости никогда не выполняется, если / не превышает некоторого критического значения. Иными словами, переход к диссицативной структуре может реализоваться в системе лишь в том случае, когда ее размер превышает критическое значение. При дальнейшем увеличении размера системы возможны новые переходы, соответствующие различным значениям т, Это обстоятельство подтверждается непосредственно при использовании методов численного моделирования [18, I50J. К этому вопросу мы возвратимся в гл. 16, посвященной процессам развития и морфогенеза.
5 За к. [286
