Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
110
Глава 7
В
1 тс=2 р, 3 4 т
Рис. 7.2. Диаграмма линейной устойчивости, относящаяся к бифуркации стационарных решений. Первая точка бифуркации Вс расположена в окрестности мнеемума кривой нейтральной устойчивости, хотя а общем случав
4. Если шш являются действительными числами, то может возникнуть один положительный корень при
«шрт - л2в > о
или
На рис. 7.2 показана зависимость В От т па критической кривой Ви=1+АДа + _*-/Я + -й5^.. (7.34)
При данном В нулевое собственное значение ((ож = 0), как правило, бывает простым, за исключением некоторых значений параметров (см. ниже). Таким образом, точки на кривой Вт, соответствующие целым значениям т, обязательно являются точками бифуркации стационарных решений. По мерс возрастания В первая неустойчивость возникает при В = Вс соответственно целому числу тс, ближайшему к минимуму (ц, В№) критической кривой. Нетрудно показать, что
, АР Р =-— ¦
5. Объединяя случаи 3 и 4, можно получить условия возникновения первой неустойчивости в исследуемой системе при воз-
Простые автокаталитические модели
111
растании В. Очевидно, это происходит при достижении значения
й = тт(8[, В„) в случае отсутствия потоков и значения
й = пт1П(Вс, В,)
в случае условий Дирихле.
Сопоставляя соотношения (7.33), (7.34) и (7'.32), можно сделать вывод, что в случае условий Дирихле первая бифуркация приводит к периодическим во времени решениям, если
В[ < Вд.
или _
(1гГ> V1 + -т- <7-36>
В частности, при 01 = 0% = О можно получить
0<~. (7.37)
Однако при С^/Ог-^О или при 0\/0^^-са неравенство (7.36) не выполняется. Таким образом, близкие значения коэффициентов диффузии способствуют бифуркации периодических во времени решений. Отмстим, что в случае условий Дирихле бифуркация стационарных решений возможна при одинаковых коэффициентах диффузии только тогда, когда эти коэффициенты удовлетворяют неравенству, противоположному (7.37). На рис. 7.3 показаны различные возможные варианты, возникающие в случае первой бифуркации.
6. Наконец, для полноттл рассмотрения получим условия, при которых собственные значения и,и в случае 4 становятся двукратно вырожденными. Для этого необходимо, чтобы уравнение (7.34), рассматриваемое как уравнение относительно т2, было представлено в виде
(У - т\) (т2 - т\) = О,
где ш\ и тч — положительные целые числа. В частности, если Припять, что Ж] = тс ^ р, то с необходимостью получим т2 = = те-\-\. Тогда условием двукратного вырождения будет равенство произведения корней уравнения (7.34) величине 1пс(тс-\- 1). Записывая это условие в явном виде, получим [10 240]
АР . .,
112
Глава 7
О 10 гО 30 п О 10 20 30 гґ
I Л
Рис. 7.3. Диаграммы линейной устойчивости, следующие из соотношений (7.33) — (7.35). Изображены зависимости параметра бифуркации В от волнового числа п.
а. б — области комплексных собственных значений (б —область неустойчивого фокуса); 6 — область ітеустой тивости, .ча[іактеризующзнсн наличием селловой точки. Вертикальными опциями показаны допустимые дискретные значения а дли системы, на граница* которой или заданы концентрации, или потоки раены нулю. Значении параметров: (I) Л —U, 1 = 1, Д, —K.U ¦ І0-3, D,= ITS - І0_а; (III А — г, / = ]. ?)1 = i;6 - Ю—3; Ог = К,0 ¦ lu~3. Нз рис. II линия, ограничивающая области а и б„ показана неполностью.
В дальнейшем мы будем полагать, что это строгое условие не удовлетворяется. К проблеме вырожденных собственных значений мы вернемся в разд. 7.9.
Здесь мы обсуждали лишь первую бифуркацию с термодинамической ветви. Как будет показано ниже, это связано с тем обстоятельством, что только в данном случае теория бифуркации может дать информацию об устойчивости ответвившихся решений. Проблема последовательных нсустойчпвостей рассматривается в разд. 7.9 и гл. 8.
Собственные векторы оператора L
Считая, что условие (7-38) не выполняется, мы заключаем, что в случае бифуркации стационарного решения в окрестности В = Sc оператор L имеет одномерное нуль-пространство, обра-
Простые автокаталитические модели
ИЗ
зованное следующими функциями (в зависимости от граничных условий):
\vmJ
( (СЛ . тяг (СЛ тяг
lLJcos—¦
(7.39)
Подставляя эти выражения в линеаризованную систему (7.21), можно получить отношение Сг/ср
с, ~ A*
(7.40)
или при т = т-с — и,
t--i(^)"['+4^)"1<°- <™>
До сих пор ci оставалось неопределенным. Эту величину можно зафиксировать путем выбора определенной нормировки для
Однако это вовсе не необходимо; как мы увидим позднее,
нелинейный анализ в области после точки бифуркации позволяет устранить эту неопределенность.
Если имеется бифуркация периодического во времени состояния, то, например, в окрестности В\ решения ) обладают как
пространственной зависимостью, так и временной периодичностью:
(;)-C)e""<'si„^. (7.42а,
В случае отсутствия потоков для первой бифуркации имеем (тс =0) -
Стационарное состояние (А, В/А) ведет себя подобно центру, аналогично системе, обсуждавшейся в разд. 6.5. В соответствии с изложенными в разд. 6.6 теоремами можно ожидать, что эта ситуация при В ~> В<> приведет к предельному циклу.
