Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Условия существования решения системы (7-49) устанавливает следующая теорема, являющаяся обобщением результатов, впервые полученных в Применении к задачам линейной алгебры [349].
Теорема (альтернатива Фредгольма). Вектор ( *) является решением уранЕіения (7.49), если правая часть этого уравнения
^ а ^ Ортогональна нулевому собственному вектору сопряженного оператора ь'с.
В рассматриваемой задаче ортогональность определяется При помощи скалярного произведения, которое является комбинацией скалярных Произведений, известных в векторном анализе и в теории функциональных пространств, таких, как гильбертово пространство [337). Это приводит к следующей математической записи теоремы:
((*\ у'){^~а^^\<1г(у--х*)ак({хк_т{г), ук-т(г)}) = 0 (7.52)
_ (А=1, 0<т<А).
*) По существу, поскольку Ц является дифференциально-матричным оператором,-было бы правильнее говорить о матрицах Грина для этого опера-тора.
т
Глава 7
Из разд. 7.4, точнее из той его части, где рассматривались сопряженные операторы, мы знаем, что собственный вектор [х9, у") характеризуется такой же пространственной зависимостью, как и собственный вектор оператора іс, а также что в общем случае амплитуды сії, сі2 величин х*г у* различны. Таким образом, уравнение (7-52) принимает следующий вид (в зависимости от выбора граничных условий);
sin ¦ т<™
dri Jnr К (fe-™ i'). yk-m(r)}) = 0 (7.52а) о" [ cos - ct
(0<m<e; e=l, ...).
Эти условия вместе с уравнением (7.50) полиостью определяют коэффициенты у;. Далее, из второго соотношения (7.48) МОЖНО найти е в зависимости от (В—Вс). Подставляя рассчитанное таким образом значение е в первое из уравнений (7,48) и решая неоднородные уравнения (7.49), можно получить явный вид ре-
шения^ ^. Оказывается, что свойства этого решения в сильной
степени зависят от четности числа тс, поэтому оба возможных случая мы рассмотрим отдельно, При дальнейшем анализе мы ограничимся расчетом лишь нескольких первых членов в уравнении (7.48), поскольку уже при этом достигается довольно хорошая аппроксимация решений, полученных численными методами. Будут рассмотрены последовательно случаи условий Дирихле и условий отсутствия потоков. Более подробно эти вопросы обсуждены в работах Николиса и Охмути [274], Николиса [273), Охмути и Николиса []0), Боа и Козна [39), а также Гершкович-Кауфман [160).
7.6. БИФУРКАЦИЯ ПРИ ФИКСИРОВАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Случай четного тс
Если тс четное и в условии разрешимости (7-52) для ai используется выражение (7-50),то с учетом (7.39) можно записать
( ar sin ^f-(v. sin -uf- + sin*^ + 2Ac2 sin2-^) =0
или
У t
Vl 5 dr sln2-^ = - (А- с, + 2Ac2) J dr sin3
Простые автокаталитические модели
119
Коэффициент при Yi в левой части последнего равенства всегда положителен. С другой стороны, поскольку tnc четное, подынтегральная функция в правой части нечетна относительно средней точки в интервале 0 ^ т ^ /, так что интеграл обращается в нуль. Отсюда следует, что
Т| = 0. (7.53)
Далее, уравнение
решается путем разложения в ряд Фурье
Подстановка этого разложения в уравнение (7.54) дает
:)¦
ве-1 я
(7.55а)
где
i Г 0 (если m четное)
Ьт = 2 J ar я, (г) sin — { — ватЦп (ni2 — Ame2) т (7-556)
и I (если т нечетное)
и
= с,+ 2Ас2)сх.
Обращай соотношение (7.55а), можно определить ( ' ) и за-
тем, используя условие разрешимости — па этот раз для (h(r) — найти явный вид коэффициента у?:
^Г = *(т„ Л, Де, А.).
Если тес^щ, Вс — Ву, (см. разд. 7.4), то функцию ф можно выразить через А и ?>]/52:
Явный вид этой зависимости здесь не играет особой роли. Важно только понимать, что природа претерпевающего бифуркацию решения определяется знаком ф. Если ф > 0, из уравнения (7.48) следует, что
• ^±(-^^)'Л при В>ВС,
120
Глава 7
т. е. решение определено н надкритической области. Если же ф < О или у2 < 0, имеем
^±(-%^Г при й<йс,-
и решение определено в подкритической области. Если у2 = 0, то вычисления следует продолжить. Однако этот особый случай не представляет интереса с физической точки зрения.
Чтобы вычислить в первом приближении решение, испытывающее бифуркацию вблизи В = ВС, после подстановки найденного значения в первое из выражений (7.48) следует оставить первые два члена. После этого оказывается, что на произвольную амплитуду С], фигурирующую в линейном анализе, можно сократить, в результате чего полумаем
/ В - В тг%г 5-й, ЯтЪ2
Аналогичное выражение имеет место для у(г). Более того, можно доказать следующую интересную теорему [3491-
Теорема. Принадлежащие окрестности критической точки Ве новые решения, возникающие в результате бифуркации, асимптотически устойчивы, если они относятся к надкритической области В > Вс (у2 > 0). Однако при уг < 0 нодкритические ветви неустойчивы. Отметим, что здесь бифуркация происходит в соответствии с теоремой Лсрея — Шаудера (см. разд. 6.6), поскольку Кратность пулевого собственного значения оператора ?с равна единице.
Эти результаты можно вполне адекватно изобразить при помощи диаграмм бифуркации (см. рис. 7.5).
