Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Важной особенностью пространственной части собственных функций, соответствующих случаю отсутствия потоков на границах, является возможность учета макроскопических градиентов в системе, как это показано на рис. 7.4, Таким образом,
114
Глава 7
Рис. 7.4. Полярная собственная функция кулевых потоках на границах системы,
линеаризованного оператора при
имеется общий механизм спонгашгого возникновения полярности в пространстве, исходно не содержащем выделенного направления [18].
Сопряженный оператор
В дальнейшем нам потребуются свойства оператора /Д сопряженного оператору і и действующего в функциональном пространстве, определенном выше в данном разделе. Имеем:
1Л * -0.4т-4 (7ЛЗ>
Этот оператор имеет те же собственные значения, что и оператор Ь, а нх собственные функции характеризуются одинаковой пространственной зависимостью. Например, в случае условий Дирихле в окрестности точки бифуркации стационарного решения имеем
где отношение йг1<1\ выражается следующим образом:
(7-44)
Отметим, что в случае тримолекуляриой модели оператор ? не может быть самосопряженным ни при каких условиях, Иначе говоря, не существует потенциала, при помошк которого можно было бы получить линеаризованные уравнения, соответствующие этой модели. Этот вывод подтверждает результаты части 1
Простые автокаталитические модели
US
(см. также комментарии к разд. 6.4), согласно которым сильно неравновесные нелинейные системы, вообще говоря, не могут быть описаны экстремумами функционала состояния.
Проводимый в настоящем разделе анализ относится главным образом к тримолекулярпой модели. Скринеп и сотр. [131, 303[ исследовали методом линеаризации устойчивость общих реакционных схем и получили результаты, описанные в разд. 6.5.
Рассмотрим теперь поочередно оба типа бифуркаций, возникающих при линейном анализе устойчивости тримолекулярной модели.
7.5. ОБЩАЯ СХЕМА БИФУРКАЦИИ
СТАЦИОНАРНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР
Рассмотрим случай 4 из той части предыдущего раздела, которая касается собственных значений. Наша цель состоите установлении явного вида стационарных решений, претерпевающих бифуркацию при переходе через критическое значение б(. Подставим разложение (7.17) в уравнения (7-13), учитывая на этот раз нелинейные члены но х и у. Кроме того, разложим оператор L в (7-20) на два оператора, аналогично тому, как это было сделано в уравнении (7.31):
L = LB = Lc + {L-Lc) = Lc + y_{B_B^ 0J, (7.45)
где Lc — оператор L, взятый в критической точке первой бифуркации, Основной мотивировкой для этого разложения является установленное в предыдущем разделе свойство, согласно которому оператор Lc является параболическим и допускает единст-
венный нулевой собственный вектор | I, а 60 всех прочих
случаях имеет собственные значения с отрицательной действительной частью. Такие операторы называются диссипативными; они широко используются в теории случайных процессов и кинетической теории, где наиболее известным примером служит оператор Фоккера — Планка.
Затем, полагая "^?7" ~ "^г " 0, получим систему дифференциальных уравнений
где
К (х, у) = (В - Ве) х + 2Аху + х ** + *?У- (7.47)
116
Глава 7
При этом граничные условия те же, что и для уравнения (7.22). Отметим, что нелинейность по переменным х и у проявляется не только в кубических, но и в квадратичных членах.
точки
А
малы.
Найти решение можно в том случае, когда вблизи
бифуркации поправки к термодинамической вегви ( ^
Это можно выразить путем разложения как ^ ^, так и у = = В — Вс по степеням малого параметра е *):
.....
у = В - Ве = еу, + егу2 + .... (7.48)
Это разложение является более гибким, нежели кажущееся бо-
( х\
лее естественным разложение І I по степеням (В — Вс). В частности, оно позволяет определить непосредственно дробно-степенную зависимость ^ ^ от (В — Вс).
Теперь проведем такое разложение в уравнении (7.46) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях є. В результате получим ряд соотношений вида
1-(2Н~2) (*-<>¦'¦¦••) <™>
с граничными условиями
хк(0) = хк(1)= ... =0
или
йт ІІГ
ВОТ НеСКОЛЬКО ПерВЫХ коэффициентов й^.
оо = 0,
Ъ + ^Г% + 2<Ч)х( + 2ЛЗД + У[ _± + (7.50)
*) Недавно Лефеверу, Гершкович-Кауфччя и Тернеру удалось в упрошенной варианте тримолекулярной модели выполнить строгий расчет бифур' кации. Их результаты кратко описаны в Приложении в конце книги.
Простые авгокаталитические модели
В результате имеем
<.(»)-„.
Иными словами, вектор ( ° ) пропорционален нулевой собст-
\ У о 1
венной функции І I оператора Ьс. С другой стороны, урав-
нения (7.49) при А > 1 образуют неоднородную систему линейных уравнении с постоянными коэффициентами. Если бы оператор Ь,: допускал обращение, такого рода системы решались бы непосредственно путем построения функции Грина*) оператора Ьй [363] и преобразования этих уравнений к ряду линейных интегральных уравнений- Однако в рассматриваемом случае Ьс не имеет обращения, поскольку этот оператор допускает один нетривиальный пулевой собственный вектор [см. уравнение (3.51)), В какой-то степени аналогичная ситуация реализуется в линейной алгебре, когда имеется система неоднородных алгебраических уравнений первого порядка, причем матрица коэффициентов сингулярна, т.е. имеет определитель, равный пулю.
