Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 54

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 171 >> Следующая

l=Q -vt, (7.105)
где V—(постоянная) скорость распространения, и будем искать такие решения X, Y диффузионно-кинетических уравнений (7.13), которые зависят только от величины |. Производя замену независимых переменных, перепишем кинетические уравнения в виде
DXX" -(B+l)X+X2Y + A = - vX',
D2Y" ±BX — X2Y = — vY'.
При этом подразумевается, что
X (?) = X (2я + ?), Y (l) —У (2п + i)
для всех i из интервала 0 ^ | ^ 2л. Требуется найти такие значения V, при которых имеются отличные от постоянных решения этих уравнений. Рассматривая малые отклонения х и у переменных X и Y от термодинамической ветви, будем искать ненулевые периодические решения с периодом 2а следующей системы уравнений [см., например, (7.83)]:
DlX" + (В - 1) х + А2у + h (X, у)=- vx',
D2y" ~-Bx-A2y-h (х, у)--vy'. (7Л '
Единственными точками, в которых в результате бифуркации тривиального решения х = у = 0 этих уравнений возникают новые решения, являются такие значения В, при которых линейная система уравнений
D,x" +(В~\)х + А2у = — vx',
(7 1071
D2y" ~ Вх — А2у=- vy' У "
имеет нетривиальные периодические решения с периодом 2п. Любое решение такого тина должно иметь вид
причем оно существует в том и только в том случае, когда характеристическое уравнение
В — \ —D\m2-\-imv А2 |
— В — А2 — D2nt + imv I
Допускает решения cm#0 (см. также разд. 7.4). ¦
Новым здесь является то, что это — уравнение в комплексных переменных, поэтому возникают два условия. Одно из них
166
Главо 7
определяет значения В вдоль кривой нейтральной устойчивости и во многом сходно со случаем уравнения (7.33):
В = Вт = 1 + А* + т2 (Д, + 02). (7.110)
Из второго условия получается следующее выражение для у:
Легко видеть, что г>„, действительно при условии
0^^-5- + ^(Ое-й2). (7.112)
В частности, может существовать лишь конечное число М возможных точек бифуркации для периодических волновых решений. Здесь М — наибольшее целое число, не превышающее значения, задаваемого условием
Точки бифуркации отсутствуют, если условие (7.112) не выполняется При т = I. Это происходит, если
01>^~[-1 + ^/\+~г(1+0[)]. (7,1136)
Отметим, что выражение (7.111) для ит представляет убывающую функцию т. Таким образом, наибольшая скорость распространения будет присуща самым длинноволновым решениям. В частности, предельный цикл (т~0) соответствует бесконечной скорости распространения.
Собственно построение решений типа распространяющейся волны проводится аналогично тому, как это делалось в случае бифуркации Хопфа. Как следует из уравнения (7.108), при каждом допустимом значении В,п пространство собственных функций является двумерном. Однако для бифуркации данного типа требуется найти именно две неизвестных, гак что, вообще говоря, уравнения разрешимы. Во всех расчетах скорость распространения волны играет такую же роль, как и частота Я в периодическом решении в случае бифуркации Хопфа. Результаты имеют ту же зависимость ог критического параметра (В — Вт) и переменной ?, что и соответствующие результаты в случае бифуркации Хопфа в отсутствие потоков на границах [см. выражение (7.100)], и здесь не воспроизводятся (подробно см. статью Ох-мути и Николиса [П]),
Простые ивюкйталитические модели
167
Аналогично проанализированному в разд. 7.12 условию отсутствия потоков па границах бифуркация соответствующего m =0 постоянного в пространстве решения происходит при значении В, меньшем любого значения при конечном ш. Таким образом, установить устойчивость решения типа распространяющейся волны в общем случае не удается. Однако численные расчеты показывают, что в кольцевой геометрии имеются такие пространственно-зависимые периодические решения, которые существуют в течение нескольких периодов, причем не наблюдается никакой тенденции к возвращению в пространственно-однородное состояние (Гершкович-Кауфман, частное сообщение) *.
7 15. БРЮССЕЛЯТОР КАК ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА
До сих пор мы анализировали кинетические уравнения для тримолекулярной модели, предполагая, что концентрации определенных реагирующих веществ поддерживаются постоянными внутри реакционного объема или по крайней мере контролируются на его границах. Во многих случаях цо практическим соображениям реальный физико-химический эксперимент проводится в условиях замкнутой системы. Если начальный состав смеси далек от равновесного, то в течение ограниченного интервала времени поведение концентраций промежуточных продуктов может напоминать диссипативную структуру, например в виде колебаний вблизи квазистационарного состояния. В конце концов система приходит в состояние равновесия и все типы согласованного поведения исчезают.
Нойес [291, 292] исследовал условия, при которых в замкнутой системе с двумя промежуточными продуктами (типа тримолекулярной модели) могут наблюдаться переходные кооперативные явления. Этот автор изучил возможность колебаний и показал, что необходимым условием существования такого режима является относительно небольшой расход исходных веществ А и ? в течение одного периода.
Рассмотрим кинетические уравнения (7,11) при наличии перемешивания в системе, т. е. в отсутствие диффузии. Стационарные концентрации промежуточных продуктов X и Y определяются как
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed