Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
(5.6)
то будем говорить, что Х/(г, () асимптотически устойчива.
Иными словами, решение (или движение) устойчиво, если все близкие решения асимптотически приближаются к нему. В качестве примера рассмотрим уравнение
(5.8)
имеющее два стационарных решения: а также семейство решений (см. рис. 5.1)
ж «-«1 (/ — *„+*), А = агс1п*(0) (—1 < * (0)< 1). (5.9)
Из определений 1 и 2 следует, что х0 \ неустойчиво, а лг02 асимптотически устойчиво*).
*) Отметим, что если бы рассматривалась устойчивость при (-»—<», то хы было бы асимптотически устойчиво, а Хм — неустойчиво,
v.
Системы с химическими реакциями и диффузией
77
5.3. ОРБИТАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Во многих случаях, представляющих интерес в физической химии и биологин, рассматриваются системы, подверженные не зависящим от времени внешним воздействиям. В уравнении (5.3) это соответствует тому факту, что его правая часть—по существу функция не зависит явно от времени. Такие системы называются автономными. Пусть Х,(г, () — решение уравнения (5.3). Тогда любая функция вида Х;(г, г + т), где т — произвольная постоянная, также является решением этого же уравнения. Иными словами, автономные системы обладают свойством трансляционной инвариантности. Это бесконечное множество решений, отличающихся друг ог друга фазой, определяет траекторию (или орбиту) системы в соответствующем пространстве. В общем случае это и-мерное евклидово пространство, образуемое п переменными рь рп, и траекториями в этом пространстве являются кривые. В самом же обшем случае рассматриваются бесконечномерные пространства, известные как функциональные пространства. Примеры траекторий в этих пространствах приводятся в гл. 7.
Допустим, что выбрана определенная «метрика», задающая расстояния в фазовом пространстве, и пусть С обозначает некоторую траекторию. Мы будем говорить, что С орбитально устойчива, когда при данном е > 0 существует такое г\ > 0, что если некоторая точка Х0, принадлежащая другой траектории, находится в момент времени (а на расстоянии т) от С, то при ( ^ (0 расстояние от X до С не превышает е. В противном случае С орбитально неустойчива.
Если С орбитально устойчива и при (~>оо расстояние между X и С стремится к нулю, то С асимптотически орбитально устойчива.
Не следует смешивать устойчивость по Ляпунову и орбитальную устойчивость (см. рис. 5.2).
В качестве простой иллюстрации понятия орбитальной устойчивости можно привести следующую систему уравнений, рассмотренную Пуанкаре |258]:
4г=>/+Х(1-Х2-Уг),
4^ = -Х + у-(1-Х*-;И.
Эти уравнения допускают стационарное решение
Х0 = ?а = 0.
78
Глава 9
Й
Рис. 52. Сравнение устойчивости по Ляпунову и орбитальной устойчивости. С Л С — две траектории с раэличными периодами. Расстояние между ними всегда ограничено, однако расстояние между точками / в /' может Увс?личвватьей во времени вследствие фазового сдвига, обусловленного различием периодов. Таким образом, состояние 1 не обязательно устойчиво по Ляпунову, nawe ecJin траектории С орбитЭльно устойчива.
Выражая X и У через полярные координаты с полюсом в точке Хц= У0 = 0, имеем
X = г cos е, y = r sin 8.
Тогда систему уравнений можно преобразовать к виду
dt ~ ь
Эти уравнения допускают решение, соответствующее круговой траектории конечного радиуса:
г= 1,
8 = 0О - t.
При помоши таких определений орбитальной устойчивости можно установить, что данная траектория асимптотически устойчива и «притягивает» фазовые траектории при / —*оо.
5.4. СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
В определениях устойчивости по Ляпунову и структурной устойчивости неявно предполагается, что структура правой части основного уравнения (5,3) остается неизменной. При этом
Системы с химическими реакциями и диффузией
79
различного рода возмущения, непрерывно воздействующие на систему (см. разд. 3.6 и гл. 4), просто сдвигают мгновенное состояние системы из стандартного состояния в новое, «возмущенное» состояние, изображаемое некоторой другой точкой в том же фазовом пространстве, которое служит для описания ксвозмущенной системы.
Во многих физически интересных случаях эволюция системы 'зависит от ряда параметров, примеры которых приводились в разд. 5.1. Поскольку система все время испытывает возмущающие воздействия со стороны внешней среды, некоторые из этих параметров сами могут изменяться, непрерывно или даже скачкообразно. Кроме того, могут «включаться» новые параметры, что увеличивает число взаимодействующих степеней свободы. Наконец, какие-то параметры могут ослаблять свое влияние на систему. В каждом случае изменение параметров приводит к изменению структуры самих уравнений, поскольку при этом изменяются правые части уравнений (5.3). Пусть величина б служит мерой изменения одного из таких параметров. Если все решения, описывающие измененную систему, остаются в окрестности О(е) (порядка е) решения, соответствующего «начальной» системе (при е = 0), мы будем говорить, что последнее решение структурно устойчиво. Если такой окрестности не существует, то система структурно неустойчива. Иначе говоря, в структурно устойчивой системе топологическая структура фазовых траекторий (если удается построить фазовое пространство) остается неизменной.
