Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
р
В области нелинейности необратимых процессов величины ],¦ и ^р становятся сложными нелинейными функциями р;. Однако
41484430
74
Глава 5
в физической химии и биологии во многих случаях рассматривается поведение во времени промежуточных Продуктов, присутствующих в весьма малых концентрациях. В соответствии с разд. 3.7 в такой системе диффузионный поток определяется выражением
}; = —Z)|Vp, (первый закон Фика), (5.2)
где матрица коэффициентов диффузии считается диагональной. В дальнейшем изложении коэффициенты D, рассматриваются как постоянные. Уравнение (5.1) принимает вид
4**- = ММ) + №„ (5.3)
где нелинейная функция ft описывает полную скорость производства компонента X,- во всех химических реакциях. В соответствии с разд. 4.1 и 2.2 в случае фнзико-хцмнческнх систем, подчиняющихся в равновесии закону действующих масс, функция будет полиномиальным образом зависеть от переменных {р,}. Поэтому уравнения (5.3) образуют систему нелинейных уравнений в частных производных.
Из теории таких уравнений известно [363]. что в результате наличия Производной первого порядка по времени и производной второго порядка по пространственной координате уравнение (5.3) является параболическим. Параболические уравнения характерны для временной эволюции диссипатцвных систем. В частности, в таких системах справедливы второй закон Фика в случае диффузии или закон Фурье в случае теплопроводности.
Как отмечалось в разд. 2.2, для полной постановки задачи необходимо принять соответствующие граничные условия, выражающие характер взаимодействия системы со внешней средой. В большинстве приложений рассматриваются либо условия Дирихле
К> Р^} = {const}, (5.4а)
либо условия Неймана
{n-Vpf, .... n-Vp^} —{const}, (5.46)
либо линейная комбинация этих условий. Иногда одна из констант в уравнении (5.46) тождественно обращается в нуль. В Этом случае система является замкнутой в смысле обмена соответствующим химическим веществом. Это условие справедливо в большинстве экспериментов по реакции Белоусова — Жаботинского, служащей наиболее известным примером воз* никновення диссипативных структур в химической системе. Подробнее эта реакция рассмотрена в гл. 13.
Системы с химическими реакциями и диффузией
78
В разд. 4.2 было показано, что условия постоянства концентраций или отсутствия потоков необходимы при выводе критерия эволюции в виде dxP/dt ^ 0.
Прежде чем закончить этот раздел, нам хотелось бы подчеркнуть общность уравнении (5.3)—(5.4), поскольку они применимы в обычной химической кинетике, а также в анализе биохимических систем на клеточном и надклеточном уровнях. В несколько модифицированной форме эти уравнения могут описывать тепловые эффекты — достаточно к уравнению (5.3) добавить уравнение сохранения внутренней энергии
с -Я. = div 7МТ + ? (- ДЯр) w, (Г, (р,)), (5.5)
о
где с — удельная теплоемкость смеси, ДЯр — теплота реакции р, a wp нелинейно (обычно экспоненциально) зависит от температуры через константы скоростей. Более того, простое изменение интерпретации переменных позволяет описать такие разные явления, как конкуренция популяций в экосистеме или электрическая активность мозга.
Таким образом, моделирование конкретной системы сводится к разумному выбору переменных, вида «химических» законов, определяющих величины /,, ДЯр и wp в уравнениях (5.3—5.5), и других параметров. Среди последних на поведение системы наиболее сильно влияют коэффициенты диффузии {А}, константы скоростей {kip}, размер системы и, наконец, природа внешних условий.
5.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
Из термодинамической теории, развитой в части 1, следует, что потеря устойчивости термодинамической ветви является важным явлением, сопровождающим процесс самоорганизации. В данном и последующих разделах настоящей главы мы постараемся определить Это важное понятие более строго.
Прежде всего дадим Представление об устойчивости по Ляпунову [258], Пусть функции Х{{г,()—решение системы дифференциальных уравнений (5.3), т. е, совокупность функций (Л1, (г, ()}, зависящих соответственно от пространственной и временной переменных гиг, удовлетворяют тождественно уравнениям (5.3) с учетом начальных и граничных условий. Предполагается, что движение происходит в ограниченной пространственно-временной области {0 ^ га ^ 1а, а = 1, 2, 3; 0 ^ ( < оо и что в этой области функции Х-(г, Ц имеют физический смысл, т, е, ограничены и положительны.
76
Глава 5
1 — ____'
У" t
-1
Рис. 5.1. К вопросу об устойчивости стационарных решений уравнения (5.7).
Определение I. Будем говорить, что Х,(г, () устойчива по Ляпунову, если при данном е >¦ 0 и (= (о существует такое л = Г|(е, /о), что любое решение У,(г, (), для которого (г, ?0) — У: (г, ?0) | < т|, удовлетворяет также неравенству ^|(г, I)— У,(г,01 <е ПРИ I ^ 1о- Если такого ц не существует, решение неустойчиво. Мы видим, что устойчивость по Ляпунову эквивалентна известному из дифференциального исчисления свойству равномерной непрерывности Х(г,1) по начальным условиям.
Определение 2. Если Xi(r, t) устойчива и если lim \Xi (г, 0-М'. 01^0,
