Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
82
Глава 6
Можно считать, что уравнение (6.1) определяет новую систему координат в фазовом пространстве, начало которой находится не в точке 0, ..., 0, а в стандартном состоянии.
Из уравнений (5.3) и (6.1) можно получить систему уравнений для {х,-}
дх
или полагая
ъ, = и{{Хч + х,})-и{{Ы)' (6.3)
^- = 0(({х;|)т-ОЛ. (6.4)
Теперь уже устойчивость стандартного состояния {Хы} определяется устойчивостью тривиального решения {xi = 0} уравнений (6.4).
В общем случае система уравнений (6.4) столь же сложна для решения, как и исходная система (5.3). Однако довольно часто оказывается, что вблизи начала отсчета, т. е. при
важную информацию о поведении всей системы может дать локальное, линейное решение. Для локального описания системы достаточно линеаризовать уравнения (6.2)— (6.4) по х,. Тогда получается линеаризованная система, называемая также вариационной:
^=ДОЬ+№,. (6.6)
где элементы матрицы коэффициентов (якобиана) вычисляются в стандартом состоянии. Преимуществом линейной системы (6.6) является возможность применения к ней таких классических методов анализа, как метод ортогональных функций (примеры см, в гл. 7),
Следующая важная теорема, впервые доказанная для обыкновенных дифференциальных уравнений Ляпуновым [285, 349], устанавливает связь между устойчивостью систем (6.6) и (5.3).
Теорема. Если тривиальное решение уравнения (6.6) асимптотически устойчиво, то {Хщ} является асимптотически устойчивым решением уравнения (5.3). Если же тривиальное решение неустойчиво, то {Хос) также неустойчиво.
Отметим, что эта теорема ничего не говорит о случае, когда тривиальное решение уравнений (6.6) устойчиво (по Ляпунову), но не асимптотически устойчиво. Этот так называемый критический случай должен изучаться отдельно [348]. По существу
Математический аппарат
88
соответствующее критическому случаю состояние является структурно неустойчивым, поскольку поведение системы в ответ на внешнее возмущение, сколь бы малым оно пи было, изменяется качественно. В таком критическом случае обязательно имеет место ветвление решений, неоднократно упоминавшееся в предыдущих разделах.
Второй метод Ляпунова
Основанное на линеаризации исследование устойчивости сводится к непосредственному интегрированию соответствующей системы уравнений. В случае систем со многими химическими переменными такой анализ может оказаться слишком сложным, особенно если стандартное состояние неоднородно в пространстве и (или) во времени. Так называемый второй метод Ляпунова позволяет установить условия устойчивости, которые: а) не связаны с интегрированием линеаризованной системы, б) применимы к стандартным состояниям {Х^} всех типов, включая изменяющиеся в пространстве и (или) во времени, в) непосредственно применимы к нелинейным системам (5.3) или (6.4). Однако этот метод дает лишь качественную информацию и не позволяет вычислять такие величины, как времена релаксации или частоты колебаний.
Рассмотрим сначала нелинейную систему (6.4}, в которой отсутствуют диффузионные члены:
^- = и1({х1})- (6.7}
Введем следующее определение.
Определение. Рассмотрим функцию п переменных V ~ ~ У{х1, Хп). Будем говорить, что V определена в области В фазового пространства вблизи начала координат (О: <; < и, где т] — положительная постоянная), если она имеет в области В один и тот же знак и обращается в нуль лишь при XI = ... = хп = 0. Функция V полуопределена, если в В она имеет один и тот же знак или обращается в нуль. Во всех остальных случаях V не определена.
Рассмотрим далее производную V вдоль решения уравнения (6.4). В случае не зависящих от времени внешних ограничений система (6.7) становится автономной; тогда (IV д? дх.
где
¦<.......»») - ™-(&.....э-
84
Глава 6
Первая теорема Ляпунова гласит:
Теорема 1. Стандартное состояние (#1 = ... = х.п = 0) устойчиво в области В, если можно построить функцию У, определенную в В, такую, что ее «эйлерова производная» [равенство (6.8)] в области В либо полуопределена со знаком, противоположным знаку К, либо тождественно равна нулю.
Приведем также без доказательства две более фундаментальные теоремы Ляпунова.
Теорема 2. Состояние (.^ = ... = хп=0) асимптотически устойчиво, если можно построить определенную функцию V, эйлерова производная которой определена и имеет знак, противоположный знаку V-
Теорема 3. Состояние (х\ = ... = хп = 0) неустойчиво, если можно построить некоторую функцию V, такую, что ее эйлерова производная определена, а у принимает в области В такие значения, что \'{йУ/й1) > 0.
Отметим, что эти теоремы дают лишь достаточные условия устойчивости. В общем случае эта теория не- указывает способа построения функции Ляпунова У.
Следует обратить внимание на тесную связь между теоремами Ляпунова и основополагающими идеями термодинамики равновесных процессов. По существу функция Ляпунова, если только ее удастся построить, в окрестности егаЕщаргного состояния играет роль потенциала, экстремальные свойства которого определяют устойчивость этого состояния.
Изложенные идеи, относящиеся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (6.7), были обобщены на случай уравнений в частных производных Зубовым [430]. Здесь мы только отметим, что в этом случае рассматриваются не функции, а функционалы Ляпунова, обычно являющиеся объемными интегралами от соответствующих локальных величин.
