Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Важно также отметить, что в той части разд. 4.4, где обсуждалась устойчивость неравновесных состояний, фактически рассматривалось приложение перечисленных выше теорем Ляпунова. При этом функционалом Ляпунова, временное поведение которого проиллюстрировано на рис. 4.4, является избыточная энтропия
(У5ь = ^ чу (бэ5)0 = - -| ^ ау ? [Щ\ар* ар> (6.9)
6.4. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ
Существенной особенностью уравнений (6.4) или (5.3) является наличие в их правой части диффузионного члена, который играет очень важную роль. Как будет подробно показано
Математический аппарат
85
в последующих главах, этот член может привести к неустойчивости однородного состояния и возникновению в системе режима, спонтанно нарушающего начальную пространственную симметрию. Число качественно различных решений этих уравнений столь велико, что до снх пор не найдено общего способа их классификации. В лучшем случае удается построить приближенные выражения для некоторых специальных решений типа стационарных, периодических или почти периодических, причем без особой уверенности в том, исчерпывают ли эти решения все возможности бифуркации в системе.
Том [373] разработал мощный метод, позволяющий провести такую классификацию в тех случаях, когда в уравнении (5.3) можно опустить диффузионный член. Тогда зависимость от пространственных координат обусловлена параметрической зависимостью функций /, от пространственных координат и времени. При этом дифференциальные уравнения (5.3) превращаются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений
^- = МЫ. Ю (1 = 1,...,«), (6.10)
где
ц = <г, г; Ц. (6.11)
Таким образом, начальная симметрия разрушается не самой системой, а внешним воздействием неопределенного характера. Следовательно, спонтанность самоорганизации здесь не учитывается.
Второе допущение, играющее важную роль в этой теории, несмотря на многократные и до сих пор повторяющиеся попытки отказаться от него, состоит в том, что уравнение (6.10) записывается через потенциальную функцию V
&~ <612>
Отметим, что с точки зрения термодинамики необратимых процессов (см. разд. 4.3) описание диссипативных систем в терминах потенциалов возможно лишь в некоторых специальных случаях, например для систем с одной переменной или вблизи состояния термодинамического равновесия. Так, при помощи уравнений (6.12) невозможно описать систему в сильно неравновесных условиях. Отсюда следует важное заключение, согласно-которому при помощи таких уравнений нельзя описывать некоторые широко распространенные явления типа незатухающих колебаний, возможных лишь в области неустойчивости термодинамической ветви.
В рамках Этих двух допущений можно предпринять общую, основанную на потере структурной устойчивости классификацию
1^
SS
Глава б
решений уравнения (6.12) путем отыскания точек изменения характера устойчивости стационарных состояний, для которых дУ/др1 = 0. Такие состояния существуют, если V Не зависит явно от времени. Точки изменения характера устойчивости были названы Томом «ансамблем катастроф». В пространстве параметров эти. точки образуют гиперповерхности, на которых либо происходит ветвление решений, либо V достигает абсолютного минимума по меньшей мере в двух различных точках. Иными словами, при пересечении этих гиперповерхностей характер динамики решений должен качественно изменяться. Вообще говоря [см. уравнение (6.11)], гиперповерхность определяет пространственную область с определенной морфологией, разделяющую режимы различных типов. Таким образом, динамика н форма становятся тесно связанными. Теория Тома проиллюстрирована на конкретном примере в разд. 8.4.
6.5. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Общие положения
Прежде чем переходить к анализу конкретных моделей, про. иллюстрируем в настоящем разделе некоторые идеи, когорьг до сих пор развивались па простейших нетривиальных случая систем, способных к согласованному поведению. Очевидно, про стейнжм примером такого рода в химической кинетике могу служить системы с двумя переменными концентрациями *). На ша основная цель состоит в отыскании условий, при которых ста ционарные состояния таких систем могут становиться неустой чивыми. При этом предполагается, что явным образом детал-кинетики использоваться не будут. Для упрощения задачи м будем пренебрегать диффузионными эффектами.
Пусть X и У—концентрации двух участвующих в реакци веществ, Уравнения химической кинетики имеют внд
лу (6.13
% = fr{X,Y).
В случае систем, находящихся в не зависящих от времени уело виях, время не входит явно ни в /л, ни в /у. Таким образо. система дифференциальных уравнений (6,13) является авт номной.
*) Системы с одной переменной здесь не рассматриваются по той пр чине, что в них невозможны колебания или пространственные структуры, во яикающне при потере устойчивости термодинамической ветвью. Такие сне мы кратко обсуждаются в разд. 8.4.
Математический аппарат
87
Предположим, что fx и fr непрерывны и удовлетворяют условию Липшица в некоторой ограниченной области D фазового пространства (X, У), т. е.
I fx№- У2) - fx №. Yi) |< /С| Х2— Xj |,
