Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 33

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 171 >> Следующая

Эти соотношения дают набор критических значений Хс- Небольшое отклонение А от Хс приводит к качественному изменению траекторий на фазовой плоскости. Таким образом, оба отмеченных выше случая соответствуют структурно-неустойчивым системам. Согласно классификации, изложенной в разд. 6.5, при Х = =Хс особая точка сосуществует с такими траекториями, которые проходят в ее ближайшей окрестности, но не обязательно выходят из нее. Следовательно, можно предполагать, что X = Хс является точкой бифуркации, в которой имеет место ветвление решения системы дифференциальных уравнений (6.13).
Обсудим теперь ряд общих теорем, устанавливающих условия, при которых может происходить бифуркация. Запишем систему нелинейных дифференциальных уравнений для отклонений от термодинамической ветви (ем. начало разд. 6.3) 3 виде
J(X)X + N(l^x) = 0, (6-30>
где х рассматривается как вектор е компонентами (х[, хЛ), Ь — линеаризованный оператор из уравнений (6.6) или (6.16), а N включает все нелинейные по х члены. Отметим, что в уравнении (6.30), записанном вторым способом, помимо членов, обусловленных химическими реакциями, величина / содержит как производные по времени, так и операторы Лапласа.
Эквивалентная формулировка задачи достигается путем такого определения А, при котором величину / можно разбить на не зависимую от X часть /о и часть, пропорциональную X:
^ — Хх + N (к; х) = 0. (6.31)
Тогда можно доказать следующую теорему,
Математический аппарат
95
Теорема 1. Число Ае может служить точкой бифуркации уравнения (6.31) лишь в том случае, когда оно является собственным значением оператора ]ц.
Обратное утверждение справедливо не всегда. Чтобы получить некоторую информацию о тех точках спектра собственных значений оператора которые на самом деле соответствуют ветвлениям в нелинейных задачах, необходимо ввести понятие о кратности собственных значений. Проиллюстрируем сначала это понятие па примере, когда Ь является квадратной матрицей. Обозначим через / единичную матрицу. Будем говорить, что X* является собственным значением алгебраической кратности /, если ,
де! 11 — XI | — (Л — Л») к (>„), (6.32)
где
А(ЛА)^0.
Более общая формулировка состоит в следующем. Рассмотрим совокупность линейно-независимых собственных векторов, соответствующих \ц и принадлежащих так называемому нуль-про-странству оператора Ь — Тогда кратность собственного значения У.ц определяется как размерность объединения нуль-пространств операторов (I — Я*/)"1, где ш— 1, 2, ... . Можно показать, что по мере возрастания т каждое нуль-пространство строго содержится в последующем нуль-пространстве, и так до тех пор, пока не будет достигнуто некоторое целочисленное значение / [337]. После этого все нуль-пространства имеют одина-' ковую, обязательно конечную размерность.
Теперь можно сформулировать следующую теорему, принадлежащую Лерею и Шаудеру [294]:
Теорема 2. Если Хс ф 0 является собственным значением фигурирующего в уравнении (6.31) оператора /о, причем кратность Ас нечетна, то такое "Кс является точкой бифуркации уравнения (6.31).
Доказательство этой важной теоремы основано на топологической теории и здесь не приводится [209, 349]. Отметим, что даже при самых гладких /о и N может иметься большое или даже бесконечное число ветвящихся решений, так что полный анализ устойчивости представляется невозможным. При четной кратности собственного значения бифуркации могут вообще отсутствовать. Подробный анализ бифуркации при кратном собственном значении возможен лишь в некоторых частных случаях [23, 254].
В качестве примера, иллюстрирующего роль кратности собственных значений, рассмотрим простое алгебраическое урав* нение:
/ (Ц х « тх — Хх = {т — = 0.
96
Глава 6
Кеш,
Рис. 6.8. Поведение простого собственного значения оператора ? нз урэнне-.' ния (6.30) в окрестности точки бифуркации Хс.
а — действительные собственные значения; б — комплексныв собственные значения.
Это уравнение имеет нетривиальное решение хфО в том и только в том случае, когда ш = X, что, очевидно, соответствует нечетной кратности собственного значения «оператора» 1о~т. Напротив, в задаче [360]
х\ + х\ ~ ~~
Х2 - ^\ "^"Х2 ' ^
значение % и 1 представляет двукратно вырожденное собственное значение для линеаризованной системы. Из этой точки не могут выходить действительные ветви решения, что непосредственно видно при сведении этой системы к одному уравнению
Полностью разработана теория для двух важных случаев [311, 349]: а) простое собственное значение оператора I в уравнении (6.30), т.е. собственное значение с кратностью /= 1, находится в начале координат; б) пара простых комплексных собственных значений находится на мнимой оси. В обоих случаях предполагается, что
Не-
¦>о,
где (Ос — одно из критических собственных значений оператора Ь. Отсюда следует, что а>с ведет себя так, как показано на рис. 6.8. Тогда в обоих случаях при X = Хс имеет место бифуркация, соответствующая возникновению либо новой ветви стационарного решения, либо периодической траектории. В системах с двумя
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed