Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить два частных случая, соответствующих двукратному корню характеристического уравнения, Для первого из них ац = ??21 = ®, «11 = а%г = а Ф 0:
а*
= ах.
1Г = аУ-
(6.24)
В этом случае все траектории являются лучами, проходящими из бесконечности в 5 при а < 0 и из 5 в бесконечность при а > 0, Точка 5 называется звездообразным узлом, устойчивым или неустойчивым соответственно (рис. 6.2).
Второй случай соответствует Т2 — 4Д = 0; тогда
-тг — ах + ау,
а (6-25)
Математический аппарат
91
Рис. 6.3. Асимптотически устойчивый вырожденный узел (а) и асимптотически неустойчивый вырожденный узел (б).
Решение этой системы имеет вид
X = Х0 \в
?i
У = Уо \в
а!
(6.25а)
Исключая из этих уравнений переменную ^, можно видеть, что в качестве траекторий служат линии ?/=0 и x = y\og \ у\ + су, где с — постоянная; эти линии изображены па рис. 6.3. В этом случае говорят соответственно об устойчивом или неустойчивом узле с одной касательной.
2. Если Д < 0, то оба (действительных) корня ац имеют противоположные знаки. Из уравнения (6.23) следует
У-К* У~К,1,. (6.26)
е®1'__¦
Полагая а>1 > 0 и ©2 < 0, для соответствующих траекторий получаем следующие уравнения:
¦ К'гх Ч|№/»1 I у ~ К1*
у ¦
Сх(К^-Кг)
(6.27)
Эти гиперболические кривые имеют две асимптоты, проходящие через особую точку, называемую седлоеой. Асимптоты соответствуют особому выбору начальных условий: с2 = 0 или С] = 0.
Рис. 6.4. Сепаратрисы и фазовые траектории вблизи седловой точки.
92
Глава 6
а (Г
Рис. 6.5. Асимптотически устойчивый фокус (а) и асимптотически неустойчивый фокус (б).
Наклоны этих кривых равны соответственно /О и К% и служат корнями уравнения (6.23а). На рис. 6.4 показаны такого рода траектории на фазовой плоскости {х, у). Отметим, что изображающая состояние системы точка уходит в бесконечность при /->оо на всех траекториях, за исключением одной из двух асимптот. Таким образом, ссдловая точка всегда неустойчива. Обе асимптоты мы будем называть сепаратрисами седловой точки.
Комплексно-сопряженные корни: Т2 — 4А < О
3, Если при этом ТФ§, то оба корня имеют ненулевые действительные части. Из уравнения (6.23) следует, что приближение к особой точке (7" < 0) или удаление от нее (Т ;> 0) имеет колебательный характер. В этом случае говорят соответственно об устойчивом или неустойчивом фокусе. Траектории системы вблизи фокуса показаны на рис. 6.5.
4. Т = 0, но Д > 0. Корни чисто мнимые, ш; = ±гу. В этом случае изображающая точка фазового пространства испытывает незатухающие колебания, естественно при условии, что линеаризованная система является достаточно хорошим приближением. В соответствии с изложенными в начале настоящего раздела соображениями эти траектории должны быть замкнутыми линиями, окружающими особую точку, называемую цент-
О
Рис. 6.6. Замкнутые фазовые траектории в с, чае, когда особая точка является центром.
Математический аппарат
93
ром (см. рис. 6.6). Особая точка типа центра устойчива по Ляпунову, однако ни она сама, ни окружающие ее траектории не являются асимптотически устойчивыми.
Множественные особые точки
Приведен!! а я в предыдущем разделе классификация особых точек основывалась на существовании двух ненулевых корней характеристического уравнения, т. е. на предположении Д=т^0 [см. уравнения (6.21) и (6.22) [. Топологически это условие означает, что особая точка является точкой пересечения кривых
Ы*о, Уо) = 0, №о. Уо) = 0. (6.28)
Такие особые точки называются простыми.
Множественными особыми точками, или точками, в которых Д = О, являются точки касания кривых (6.28), определяемые условиями
У дХ }01 \дХ )а \ дУ М V дУ к"
Поэтому при произвольно малых изменениях функций 1г множественная особая точка в общем случае расщепляется на две или более особых точки. В соответствии с предыдущим разделом в системах с двумя переменными множественная особая точка представляет промежуточный случай между узлом и сед-ловой точкой. Построение траекторий в окрестности такой точки дает картину, изображенную на рис. 6.7 [6]. Таким образом, анализ устойчивости может оказаться довольно сложным.
В системах с несколькими переменными могут появляться новые типы множественных особых точек. Тем не менее эти точки всегда можно рассматривать как результат слияния простых особых точек, происходящего при достижении определенным набором параметров некоторых «критических» значений.
Рис. 6.7. Фазовые траектории в окрестности множественной особой точки тип»
седло — узел.
94
Глава 6
6.6. ВЕТВЛЕНИЯ, БИФУРКАЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
Как неоднократно отмечалось в гл. 5, в общем случае свойства химической системы зависят от некоторого набора параметров X. Для однородной системы, описываемой двумя переменными, влияние этого параметра проявляется через функции [х и {г, которые содержат параметр X в явном виде. В соответствии с проведенной в разд. 6.5 классификацией особых точек и при достаточно малом изменении X характер особой точки может измениться лишь в том случае, когда либо А, либо Т равны нулю:
Д {Х0 {X), У0 (М, Х) = 0 (седло - узел), Т(Х0(Х),У0(Х),Х)^0 (центр). (6,29)