Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Примецим теперь теорему моментов к движению жидкого тетраэдра, причем, по предыдущему, пропустим, как малые высшего порядка, члены, выражающие момент количества движения тетраэдра и момент массовых сил, пропорциональные объему тетраэдра. Тогда, обозначая через г, г,, г2 и г3 (рис. 25) векторы-радиусы по отношению к точке M точек N, Nj, Ng и Na приложения векторов напряжении
(И)
Р» = п Р.
(12) § 14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ 89
граней, будем иметь:
Г X Pn dan = Г, X Pa. daa + r2 X PУ do,J + Г9 X Ps dczs или по (8):
Г X Pn = rI X р ХПХ +T2X Pytly + ГдХ P Jlz,
с другой стороны, умножая векторно на г обе части равенства (9), получим:
г X Pn = r X pa+г х РуПу+г х рл;
отсюда почленным вычитанием найдем:
(Г — fj) X РхП:,: + (Г — Г2) X РуПу + (Г — Г3) X PЛ: = 0.
С ошибкой тем меньшей, чем меньше размеры граней, можно считать, что напряжения распределяются по граням равномерно, и, следовательно, главные векторы их приложены в центрах тяжести граней, т. е. на пересечениях медиан соответствующих треугольников, в точка*х N, N1, /V2 и N&, причем точки Nt, AZ2 и N3 будут проекциями точки N на координатные плоскости; отсюда следует:
г —I-J = Xi, Г—T2= У), г—г3 = гк, так что предыдущее равенство переписывается в виде:
XiJ X Px +ynvi X Py + Ztlzk X Рг — 0. (13)
Докажем, наконец, что
XH31 — у пу = Ztiz-,
для этого замешм, что плоскость NiN2Noi параллельна плоскости N1N2Ns или, что все равно, плоскости ABC, так как по определению ючек пересечения медиан треугольников:
ЛМі: MN1=== Ш,: ШЇ= MN%: AfAZ^== 2: 3.
При этом нормаль п будет нормалью и для плоскости NlNiN6, так что
г, • п --- г2 • п rs - п
или
ynv + Ztls = Xtlx + Ztlz = Xtla.+уПу,
а следовательно,
Xtix=упу = Ztls.
После этого равенство (13) переходит в соотношение
' X Paj + j X P2,+ к X Рг = 0, 90
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
проектируя которое на оси координат, получим:
Pxy ~ VyuoJ Pyz ~ Pzyi Pzx ~ Pocs (14)
Система равенств (14) виражає і ieopewy о взаимности касательных напряжений: если в некоторой точке сплошной среды провести две взаимно перпендикулярные элементарные площадки!, то проекции напряжений, приложенных к каждой из площадок, на ось, перпендикулярную к другой площадке, будут между собою равны. Еще иначе эту теорему можно проформулироваїь так тензор напряженности симнетричен.
§15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях
Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкое ш или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (сплошности). Будем исходить из основного закона классической механики о сохранении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной производной, можем написать:
d_ dt
cm-
¦і W-
0.
(15)
Желая получить уравнение неразрывности в переменных Лагранжа (§ 8), перепишем (15) в виде
P6- = PO8tO- (15')
где P и
-текущие значения плотности и элемента объема и
'Jo. Мо-
чальные их значения в момент времени t = ^0. Представим себе элементарный объем St как координатный параллелепипед в системе криволинейных координат — переменных Лагранжа — а, Ь, с, тогда стороны этого параллелепипеда будут определяться направленными элементами координатных линий, і Ьга Brj,, Src, равных частным дифференциалам вектора-радиуса г (t у, г) по коор динатам а, Ь, с
дг ^ дг .. дг .
'>гп
да
(1(1, IiTIj ¦¦
дЬ
гь, Srr
дс
И по известному свойству скалярно-векторного произведения, будем иметь St = ± Sra. (Ьть X Orc) = - —- - J X -?") 6я U Sc =
дх да ' ду ~да' dz да '
дх дЬ :
дЬ дг
дЬ
дх
*у
дс дг
дс
Ъа ЬЬЬс = :
D (х, у, г)
D (а, Ь, с)
- о а ЪЬ 8 с,
где использовано общепринятое обозначение дія якобиана,
1 Подробнее см об -поч гд VII, § 60, § 15] ОБЩИЬ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 91
Аналогично получим в момент времени t = tn:
.D(Xn, Vn, Zn) _ „, . Otft = ± —" ' и Ofl Ob ос
D (а, Ь, с)
и, следователю, по (15')-
><«=* fc с, . (16)
Это и есть уравнение неразрывности в лагранжевых переменных; ею было бы правильнее называть уравнением сохранения массы.
В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой жидкости—р — рп и уравнение (16) принимает форму уравнения несжимаемости в лагранжевых переменных".
Р(х,у, г) _Р(хп, у0, zn) П7,
D (а, Ь, с) D (а, Ь, с)
или, полагая Jc0 = a, j>0 = b, Z0 = с,
D {х, у, г)
D {а, Ь, с)
(170
В эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно получить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя представление о дивергенции скоростного поля как скорости относительного расширения объема [вспомнить формулу (59') § 11]:
^r Zx 4- р -—¦ 8т = ^7 8т + р div V 8т = О,
at ' at at 1
откуда и найдем уравнение непрерывности в эйлеровых переменных
f +PdivV=O. (18)
«Г
К тому же выводу можно было придти, записав закон сохранения массы для конечного объема - в виде:
IrJpfc=O; (19)
производя дифференцирование, получим но предыдущему:
