Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для дальнейшей информации по дву- и трехмерным волнам в реакции БЖ отсылаем читателя к главе этой монографии, написанной Винфри. Его предыдущий обзор является отличным источником информации по волнам в возбудимых средах, как химических, так и биологических.
Пытаясь качественно понять свойства решений типа спиральных волн для реакционно-диффузионных уравнений, многие исследователи изучали пространственные картины активности в дискретных моделях распределенных возбудимых сред [998, 44, 817, 410], Эти модели особенно легки для понимания и в то же время дают разумную картину спиральных волн в возбудимой среде. В этих моделях двумерный континуум поделен на прямоугольную решетку ячеек (i, /) и время также принято дискретным, ^ = 0, 1,2, ... Состояние системы в момент времени t — п в ячейке (j, /) обозначено как Ul,,-. В простейшей модели, модели с тремя состояниями, Ul, і может принимать три значения: — 1 (рефрактерное состояние), 0 (состояние покоя) и +1 (возбужденное состояние). Система эволюционирует во времени согласно уравнению
UIy = E(Ul. i) + D(Ul,s, WUu Ul. ,-и Ul+Uh Ul1+1)
где E (...) описывает возбудимую кинетику,
?(0) = ?(—1) = 0, ?(1) = -1
a D (...) описывает пространственную связь: D = O, если Ul іФО
D = max (О, U[L1,,, UlUl+1.,, Ul, если Ul / = 0
Диффузионный член гарантирует, что покоящаяся ячейка возбуждается тогда и только тогда, когда любая из ближайших соседних ячеек возбуждена, и что ячейка в возбужденном состоянии или рефрактерном состоянии не чувствительна к диффузии. (Это не является нереалистичным представлением диффузии в-
б*
Глава 3. Дж. Тайсан
Рис. 3.10. Эволюция спиральной волны, образующейся в месте разрыва фронта (расчет по простой дискретном модели с тремя состояниями).
На каждом дискретном шаге по времени, п каждая ячейка и прямоугольной сетке иосдетавлясг собой состояние покоя (белый Каст), возбужденное состояние (черный цвет) плк рефрактерное состояние (серый цвет!. Очерченная область в центре каждой рамки — это ..ядро" спирали. Оно поворачивается против часовой стрелки на у>° на каждом шаге по времени [4I0J.
возбудимых системах, так как возбужденное состояние обычно сильно уходит по концентрации от состояния покоя и рефрактерного состояния.) На рис. 3.10 показано, как, согласно этим правилам, разорванный край волнового фронта закручивается в спиральную волну.
3.4.3.2. Колебательная среда. Строгий пли формальный анализ решении типа спиральных волн в реакционно-диффузионных уравнениях в гомогенной среде был ограничен до сих пор случаем реакционных систем, которые допускают решения типа пространственно однородных предельных циклов. Гринберг [412] был первым, кто доказал существование решений типа вращающейся спиральной волны для системы X — а:
>. = 4R), ft> = a(R), |^ = Л] + ^, Ml) = O1 А'<(), 0<(о'<1. Позднее^Грипберг [413] показал подобный результат для случая со < о, |<а'| < 1, причем единственным существенным отличием было то, что при ш' > 0 существует даухпараметрпческое семейство спиральных волн (этими двумя параметрами являют-я он — ш (1)— производная частоты по амплитуде колебаний
a1 = f (a) + V2a
(3.28)
где
[542, 543] также доказали существование спиральных волн в системах X со (со' < 0, |«>'| < 1) в одпо., ,шу'. и трехмернН^ пространствах. Так же как в случае концентрических воїн в гомогенных средах, спиральные решения при заданной частотной зависимости a (R) существуют только для дискретного множества асимптотических волновых чисел, и только самые низкие моды, вероятно, являются устойчивыми решениями (если такие вообще существуют) реакционно-диффузионных уравнений.
Хаган [427] исследовал более общий случай уравнения (3.28), где А является л-мерным вектором концентраций, а F(A) — гс-мерным вектором скоростей реакций. При этом нет необходимости, чтобы точечная система F(A) представляла собой особый случай типа системы Я —- со, но она должна испытывать закритическую бифуркацию Хопфа. Используя теорию сингулярных возмущений (где малый параметр связан с расстоянием от точки бифуркации Хопфа), Хаган показал, что в главных членах разложения общее реакционно-диффузионное уравнение становится специальным случаем системы X — со с X(R) = = 1 —R2 и a>(R) = qR2, где q — некоторая константа, определяемая исходным реакционно-диффузионным уравнением. Хаган использовал формальные асимптотические разложения, чтобы построить однорукавные п многорукавные спиральные волны для малого и большого |^[. Для малого |<?| (т. е. q—>-0) было показано, что однорукавные спирали устойчивы, а мпогорукавные неустойчивы. Численные расчеты показывают, что однорукавные спирали неустойчивы при \q\ > 1,4. Эти результаты весьма удовлетворительны с математической точки зрения, однако следует помнить, что они относятся к колебательным системам вблизи точки бифуркации Хопфа, где возникают малоамплптуд-ные квазнгармопическис автоколебания, тогда как спиральные волны в реакции БЖ возникают в возбудимых средах, а также в средах, в которых происходят высокоамплптудные релаксационные колебания. В качестве указания иа ограниченность теории, описывающей волны БЖ, отмстим, что недавно были обнаружены многорукавные спиральные волны в возбудимой среде БЖ [6].
