Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.1. Обласні устомчнности 1Л\ „ ^.1учен„ыс лш1са,жзацІ,сіі иблИ1' 'е>'С10И4"В0СП1 <fi> м°Дел" Орегона к,р, = 8,375-ЮЛ s = 1J7^ ?"= и0™(5 ™шо"ар1,ого состояния при q =
Рнс. 4.2. Форма высокоамплитудных колеОапнй переменной х в системе (4.9).
f = l, ? = 8,373.10-5. 1=77.27. 0)=.0,16!, .«(0)=1.0, 1/(0)=900.0. z (0)=19573,0.
чили периодическое решение большой амплитуды; колебания переменной X этого решения показаны на рис. 4.2.
Численные результаты, полученные Фплдом и Нойесом, побудили Хастппгса п Марри [448] провести первый строгий анализ уравнений (4.3). Стандартный метод доказательства существования периодических решений в системе двух обыкновенных автономных дифференциальных уравнений первого порядка состоит в анализе фазовой плоскости н/илн в применении теоремы Пуанкаре—Беидпксона (см., например, [169]). Однако, так как система (4.9) включает три уравнения, описанная методика в данном случае неприменима. Поэтому Хастингс и Марри [448] использовали расширенный вариант теории Пуанкаре — Беидпксона, который мы будем называть «методом ящика». Вкратце опишем его. Как показал Марри [673], существует прямоугольная область (или «ящик») К, такая, что любое решение, имеющее начальные условия вне К, должно рано или поздно войти внутрь Кис этого момента оставаться там всегда. К определяется как
* = {(*../, *)IK.v<|. KKf тгт5Г<-"<-ІІ
Чтобы убедиться, что К является положительным инвариантом, положим Т(х, у, z) = (x, у, Z) и определим внешнюю нормаль n = n(x,y,z) к К в каждой точке (х,у,г) границы Л-С помощью алгебраических преобразований нетрудно убедиться, что Fn <0 во всех точках границы Л'. Это означает, что если в момент T решение лежит па границе К, то при 1> 1 оно должно войти внутрь К. Хастингс и Марри разбили
Глава 4. II, Трой
„.„„,„., Л на iuK-емь меньших пнра.тлелешшедов; ін-рщ,,. "а|-ЛЛ ¦I' ¦ п них служила точка, отвечающая стационарному ной каждою w иих > уравнения (4.9), они показали
ГГ:";,¦» параллелепипеда в дру,.о(і „J
ше'е енюму циклу, обходящему стационарную точку, „ эхот к, п"ё проходит через те дна параллелепипеда, которые со-г траектории, соответствующие отрицательному собствен-ному шаченпю матрицы Л. Применение теоремы Брауэра о „е-шнннжной точке показывает, что хотя бы одно из этих осцил-¦пфуюшпх решении действительно является периодическим.
Параметры, которые использовали Хастингс н Маррн, таковы что стационарное состояние (.vo, і/о, г0) неустойчиво, т. е. точка (/',?) лежит в области, которая на рис. 4.1 заштрихована. Однако может быть так, что устойчивые колебания большой амплитуды существуют, даже если стационарное состояние локально устойчиво, т. е. {f,k$) лежит вне области, заштрихованной на рис. 4.1. Например, если ft5 = 1 (т. е. щ = 0,161) и /= 1,53, то действительные части всех трех собственных значений матрицы .4 отрицательны н стационарное решение устойчиво по отношению к малым возмущениям. Однако определенные возмущения состояния покоя быстро эволюционируют к устойчивому периодическому решению большой амплитуды, которое качественно похоже на решение, представленное на рис. 4.2 для /= 1. Существование этих периодических решений большой амплитуды до сих пор не было строго доказано. Ліежду тем можно показать, что для некоторого диапазона величин /' н *5, таких, что точка (/, fe5) лежит вне области неустойчивости на рис. 4.1, существует неустойчивое решение малой амплитуды. Этот результат был получен Сю и Казарпно-вым [475], которые применили к системе (4.9) бифуркационную теорему Хопфа [467]. В кратком пересказе их работа сводилась к следующему. Они рассматривали значення f, чуть меньшие чем 2,414, и показали, что для каждого такого /' существует единственное W1 > 0, а именно: если 0 < w < it'/, то стационарное состояние неустойчиво, а если w>wh то стационарное состояние устойчиво. Далее, существует интервал значении (ki,, wf -f п), таких, что для каждого w є (w,, W1 + ц) система (4.9) имеет малоамплнтудное неустойчивое периодическое решение. При W-+W1 сверху периодическое решение сжимается н аннигилирует с устойчивым стационарным решением
43. Использование метода сингулярных возмущений
енрова^п8^uI" "редЫДУщем Разделе, Сю и Казаршюв фик-казалщ ',,TO34K0 * "«P3 /• "Уть меньшие чем 2.4 И. и но-"о, когда ^ переходит через критическое значение,
в системе происходит бифуркация Хопфа малоамплитудного неустойчивого периодического решения. Ринцель и Трой [825 826] провели исследование, дополняющее то, о котором мы сейчас рассказали. Они положили, что w > 0 мало и фиксировано, и исследовали поведение решений системы (4.9), когда границу устойчивости пересекает параметр f. Соображения, на основании которых это делалось, станут ясными в разд. 4.5,'где мы анализируем расширение системы (4.9), которое описывает реакцию БЖ, проводимую в проточном реакторе. В расширенной модели параметр / уже не фиксирован. Напротив, в ней это динамическая медленно меняющаяся переменная. Как мы увидим, f(t) пересекает туда и обратно границу устойчивости области, изображенной на рис. 4.1. Поэтому, чтобы понять явления, происходящие в ПРПП, для нашего анализа крайне важно знать поведение решений (4.9) при фиксированном значении f.
