Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ринцель и Трой [825, 82.6] обнаружили, что модель (4.9) можно упростить, сведя ее к системе из двух переменных, решения которой сохраняют и в качественном, и в количественном отношении то же поведение, что и поведение полной системы. Они заметили, что величины множителей s, l/s и w в уравнениях (4.9) дают основания полагать, что х меняется быстрее, чем у или 2. Поэтому они предположили, что компонент X меняется квазистационарным образом, т. е. к = 0 и
у — ху + x-qx2 = 0 (4.10)
Из уравнения (4.10) можно получить х как функцию у:
Х=Ш=1^1±Ы±^1 (4.И)
где у > 0. Подстановка выражения (4.11) в уравнения (4.9) для у и z сводит Орегонатор к упрощенной у — г-системе
t)==-y-ygM + f* ^ &==w{g{y)_z) (4.12)
В некотором диапазоне параметров эта упрощенная модель проявляет колебательное поведение. На рис. 4.3 показан предельный цикл большой амплитуды при w = 0,161 и / = 1,595. Внутренняя замкнутая кривая представляет меньшую неустойчивую периодическую орбиту. Ринцель и Трой численно показали (рис. 4.4), что в результате бифуркации Хопфа в системе (4.12) происходит рождение малоамплитудной неустойчивой периодической орбиты, которую можно описать следующим образом: есть два значения fH « 0,5 и f4 « 1,52, такие, что если ^Un, P), то уравнения (4.12) имеют неустойчивое стационарное решение [обозначаемое {уо, Z0) == (y0(f), z0(f)], окруженное устойчивой периодической орбитой большой амплитуды (релаксационного типа). Когда / проходит через fH (сверху) или
і" k-iiiisv) происходит бифуркация Хопфа от стационарного состояния 'к неустойчивому, периодическому решению малой амнтитуды На интерналах (/« — П,/«) » (/'. / + Ч) устойчивое периодическое решение большой амплитуды, меньшая неустойчивая периодическая орбита и локально устойчивое стационар, нос состояние сосуществуют. При I >/" оба семейства периодических орбит сливаются при величине параметра /v « I1Sg1 образуя «колено» бифуркационной диаграммы. При / > /„ стационарное состояние устойчиво, а периодические решения OT-с\тсгвук)Г.
Как мы увидим и разд. 1.5, когда реакция БЖ проводится в IIPl111. в ней может реализоваться режим прерывистой генерации. При изучении этого явлення очень важную роль играет бифуркационная кривая, представленная па рис. 4.4 и описанная выше. Для того чтобы правильно объяснить появление пачек осцилляции, нам необходимо представить формальный анализ системы (4.12), а также соответствующей х — г-систе-мы, которая получится при замене у на х, непосредственно связанных соотношением (4.11). Другими словами, если мы раз-
реактора (Лг'Г'прТ/"= Г.595288* ДаВасч,ые УРошсииой моделью закрытого
*=<¦ и і "о "ои.°ЛТ0е "еР»°Л»чсск<* мшени? моі ¦„,?,,"УТ|>и"""я =»«»«Утая кривая бражающ,, \oZ ;Г„ХТ*0Ш"" »'CL"Z амплитуды. і|у.іь.„з„к.і.,іі.4
'.f^OO -і >СТОЙЧНВОМ ІНІЄДЄіЬПпм „..,/., UM" °™ЄЧЧ1іи ІІО.ЮЖОІШЯ И W
»—••375¦IO °, Ui^o1IOl |8<5|.
Исследование Орегоііатора
г
Устойчиво
Неустойчиво
Неустойчиво
Рис. 4.4. Бифуркация Хопфа малоамплитудного неустойчивого периодического решения системы (4.12) происходит при / = fH да 0,5 и / = /" « 1,576.
Оба семейства решений соединяются с верхней . ветвью, отвечающей устойчивому периодическому решению большой амплитуды. Абсцисса правой экстремальной точки равна 1.596.
решим уравнение (4.11) относительно у как функцию х, то получим эквивалентную х — z-систему
. _ [-A(X)(I 4-х)+ /zj
sh'(X)
где
Mx) =
1 - х
z = w(.x — z) (4.13)
и h'(X) + * (4.14)
Для дальнейшего нам понадобится явный вид нуль-изоклины х = О
(4.15)
На рис. 4.5 показано периодическое решение большой амплитуды, представленное на рис. 4.3 на фазовой плоскости x — z.
Теперь мы проанализируем траекторию предельного цикла большой амплитуды, имеющегося в системе (4.12), и получим оценки его амплитуды и периода.
Вернемся сначала к рис. 4.3 и 4.5. Пятнадцать точек, помеченных крестиками на графике предельного цикла большой амплитуды, отвечают положениям системы, через которые она проходит в течение цикла длительностью 335,691 через равные промежутки времени 22,3793. Наибольший вклад в период дают два участка цикла. Сегмент I лучше всего виден на плоскости у — z (рис. 4.3). Он состоит из той части траектории, которая находится в области у > 10, z > 10, т. е. 1?У-> ' 1кг >1. Анализ уравнений (4.12) дает оценку максима иои величины у и показывает, что на этом участке (4.12) к линейной системе. На конце сегмента I z = # — ш и У J
Эти значення являются начальными для сегмента II. Его мы проанализируем на плоскости х-г рис. ^4.5) На плоскости V-z сегмент II начинается при Z= 10, хх 1,0, т. с. Ig2= |, in V ~ 0 On включает поворот, который траектория делает вблизи v=l, z=l, п закапчивается при х = x<2> = 5__щ z = z<2> Аппроксимация уравнений на сегменте II вновь приводит к іішеііноіі системе. Полный период дается суммой времен пребывания изображающей точки па обоих сегментах 7" = = t, + Z2-
Проанализируем теперь сегмент I (рис. 4.3). Так как при 1^(/^10 н г, близком к своему максимальному значению
