Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
Zmax, ДВНЖЄНИЄ ИЗ ПЛОСКОСТИ ПО Существу ГОрИЗОНТЭЛЬНО, ТО
возьмем у = 10, z = zmax в качестве начальных условий. Значение г™* находится дифференцированием выражения (4.15) и решением уравнения dz*/dx = 0. Это даст оценку Zm3x = \/4qf. Далее из уравнения (4.11) следует, что g(y)m 1 при у > 10. Поэтому систему (4.12) заменяем линейной системой
-2// +/г . ,, . у=-4й-, Z = W(I-Z)
Решения (4.Ib) лежат на кривой
C1UJ(Z) = Cl1 (2-І) + *, (г —
(4.16)
(4.17)
где a, =//(2-- 1)«-u,(z°-
- Sm), с, = 1/2, d = 2/sw и b, = (у* — C1) (г° I)1"''. При начальных условиях (у0, г0) =
/
г г
Ig г
"а"х4*-Гну'І"Із0її^"™йП'1ИКЛ' ""306Ражешшй на рис. 4.3, в коорди-" прямую х = J |825]. - и нмеет две компоненты: г-обраэную крниую
нием
г-.=1 + Ыг) <4'20>
Из первого уравнения системы (4.16) получаем
У ігт) = (4-21)
Поэтому из уравнений (4.17), (4.20) и (4.21) следует, что
„ и„ м _L Г^У"""-4 (4.22)
//max ~ Ут Sq \ SW J
При w = 0 161 s = 77 27 9 = 8,375-10-6 выражение (4.22) Дает i/max« 1691. Как видно из (4.20), ута, не зависит от /. Численный расчет подтверждает это предсказание и показывает, что при 0 5 < / < f, изменение амплитуды пиков составляет меньше 2%. Это замечание будет иметь первостепенное значение при нашем анализе модели ПРПП в разд. 4.5.
Теперь мы вернемся к оценке периода колебании "завершим наш анализ сегмента П. Для этого оказывается \добным переписать уравнения (4.13) в виде
1=Ы(г-2-М), і = w(x-z) (4.23)
Данная форма *_2.Системы лучше выямяет допаїнительную ветвь пуль-изоклпиы * = I (на рис. 4.5 она показана штри. ^ вой линией). Особая точка, лежащая па изоклине, .
«а сегменте II траектория отражает характер особой
= (10,1/?) оказывается, что конечная точка М1„,„„ мерно нрн г<'.= 10, *«> = (*¦>), т. е. Ж 10)"?"
(4.16) следует, что время /„ которое изображающая Уі» водит па сегменте II, можно найти из выражения
''=^^(-^7)^-^^(36,/) (4.18)
Для набора параметров, представленного на рнс. 4.3 н 1 5 выражения (4.11) и (4.18) дают
/,«47,5 и X1 « 838 (4.19)
Прежде чем проанализировать решение на сегменте II, удобно воспользоваться полученной информацией и оценить амплитуды колебаний для разных переменных. Пусть ут обозначает максимальное значение у вдоль C1. Тогда ут является аппроксимацией максимальной величины утах компонента у вдоль точного решения. Из (4.17) следует, что значение гт, которое на C1 удовлетворяет уравнению y(zm) = Ут, определяется выраже-
Глапа 4. В. Трой
Поэтому сичала рассмотрим линеаризацию (4.22) вблизи iil, v' = w (и-V) (4.24)
._,._] г—і) Два собственных значения, отвечающие сстсме (4.24), равны X,=2/s і. = Поэтому существует единственная входящая траектория, лежащая па прямолинейном участке:
Г, = {(.у, z)Ix= I, z> 1}
Кроме того, существует единственная исходящая траектория Га направленная в область х > 1, z> 1. Вдоль Г, решения затухают пропорционально ехр(—wt). На T2 решения возрастают как ехр(2/Д). Наше численное решение приближается к (1,1) вблизи Г, и отходит от (1,1) в окрестности Г2. Приближенное выражение для сегмента II имеет вид
C2: z (л-) = 1 + + Ь. [(*-!)-(*»>- І)]-" (4.25)
ли МП _ А
где e = sw/2, а-, =--—- „ и b., = z(" — 1 — а-> • Основываясь
на наших численных расчетах, возьмем в качестве конечной точки (г<2>, х<2)) = (г(10), 10) на C2. Из первого уравнения системы (4.19) следует оценка I2 — длительности участка 11:
Так как ;/<» > I, то х<'> = g(y<>>) = (у(0 + 1)/yt2) п /2»|ln(y('>(.v-(-»- I))
Подставляя .v'2> = 10 и у<'> = получаем I2 = 345. Итак,
. і5' 410 лишь на 17% отличается от точной величины, равной 335,7 для цикла, представленного на рис. 4.3 и 4.5. Если бы мы выбрал,, л-(2) = з_ т0 П0Луч||ЛП бы І2 = 287 и т = 334,5.
при оценке периода мы игнорировали скачок вверх компо-v ,ILt' \ T'JKiKe Врсмн '*¦ ,! Учение которого траектория пажи Z Л Верхней встви *'(*)• Эмпирически мы обпару-' ;,;™ эт" вклаДьі малы: они порядка 1, в то время как ФоіТал. нР-,ЮД "0рЯДка 30°- Этим замечанием мы завершим формальны,, анализ предельного никла системы (4.9).
4.4. Возбудимость
П«м""вІіеП'гг»4*^ БЖ "а'",та """<»" «оем в чашк> ^кне вмны КягТ.Ф°рММроватьея 11 Распространяться хпмпче волны. Как указывалось в работе 1297], «трштерпые вол-
13,0 г
H
5=6,5
2,0 Время
4,0
Рис. 1.6. Явление порогового возбуждения, имеющее место в Овегонаторе при / = 2,5, s = 77,27, q = 8,375-10-3, ш = 0,161.
Здесь у(0) = у„, z (G)=Z0 и х (0)>*0. Одна из шкал — логарифмическая. Еглн х (0) = 1975, то наблюдается отклонение от стационара (сплошная кривая). Ес-щ х(0(=РЮ0. то возвращение к стационару происходит монотонно (пунктирная .-шпня).
пы» являются результатом взаимодействия диффузии и реакции в возбудимой среде. Когда мы говорим, что система БЖ возбудима, имеем в виду, что для кинетики процесса имеется порог возбуждения. В данном разделе мы вкратце опишем те явления возбудимости, которые находят отражение в модели Орегонатор.
