ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
Стрелочное обозначение имеет то преимущество, что последовательность преобразований можно записать в хронологическом порядке. Например, два последовательных унитарных преобразования, в обычной записи имеющие вид
R2R1O(I) = ехр{-і^т2}ехр{-і^,т,}ст(г) = (2.1.66)
= exp{-i^2T2}exp{-i31flT,}a(t)x
хехр{іЖ,т,}ехр{іа?2т2}, (2.1.67)
можно представить следующим образом:
o(l) o(t + г,) o(t! + T1 + т2). (2.1.68)
Заметим, что алгебраические знаки над стрелкой и их хронологическая последовательность соответствуют аргументам упорядоченных во времени экспоненциальных операторов в правой части уравнения (2.1.67). 2.1. Уравнение движения
43
2.1.4.3. Проекционные супероператоры
В гильбертовом пространстве ^проекционный оператор Pj, который проецирует произвольную функцию состояния I ф) на функцию \j>, можно записать в виде [2.10—2.12]
Р, = іШ- <2л-б9)
<У f У >
Предположим, например, что функцию | ф) можно представить как линейную комбинацию ортогональных функций |/>:
(2-1-70)
I
Тогда мы получим проекцию
= = (2-1-71)
которая равна «количеству» )у>, содержащемуся в | ф).
Проекционные операторы можно применять для спектрального разложения произвольного оператора А. Спектр оператора определяется как полный набор его собственных значений [a,, j = 1, ..., п\. Если I j) — соответствующие собственные функции, a Pj — связанные с ними проекционные операторы, определяемые выражением (2.1.69), то А можно записать через его собственные значения («спектральное разложение» А):
А =IafPf. (2.1.72)
)
Тогда действие А на произвольную функцию ф(0 = Б Cj(t) | у) записывается в виде следующей суммы:
Аф{0=1 HiCj(I)U). (2.1.73)
Этот частный набор проекционных операторов [Ру] называется спектральным набором оператора А. Он обладает следующим свойством:
П
Ip, = 11. (2.1.74)
По аналогии с проекционными операторами Pj можно определить проекционные супероператоры в пространстве Лиувилля ^f, которые проецируют произвольный оператор А на оператор В: 44
Гл. 2. Динамика ядерных спиновых систем
Ai = ^- (2.1.75)
Таким образом
Ka = |В> ^H = ВЦ'Щ. (2.1.76)
1 (? I в) Ti-(BtB) '
* * п
Проекционные супероператоры идемпотентны: PbPb = Pb-
Для двумерной спектроскопии особый^ интерес представляет /j-квантовый проекционный супероператор Pcp'. Действуя на оператор плотности а, он выделяет операторы / + соответствующие изменению квантового числа на р = AMrs = Mr - Ms, т. е.
* 1 <
P0ll = -T Rz(k2nlN)ttxp{\pk2nlN}, (2.1.77)
Ac =0
здесь N — число возможных реализаций р-квантового перехода. Аналогично можно написать следующее соотношение:
2 N~'
?<И> = р(р> + р<-р) = - У R2(k2nlN)cos(pk2n!N), N к =U
где определяет вращение на угол ф вокруг оси квантования
Z. В разд. 6.3 мы продемонстрируем изящный экспериментальный метод получения таких проекций.
2.1.4.4. Общее представление супероператоров
Если задан полный операторный базис [Bs, s = 1, ..., л2), то любой супероператор S можно записать в виде
^ = (2.1.77а)
ik
где Ь) vi B^k — соответственно левый и правый перестановочные супероператоры, или в виде
SA = 2 SjkBjABk. (2.1.776)
Д
Очевидно, что существует п4 линейно независимых супероператоров.
2.1.4.5. Матричное представление супероператоров
Если все операторы записать с помощью матриц в произвольном базисе, то соотношение (2.1.776) принимает вид 2.1. Уравнение движения
45
(SA)pq = т SjkBjplAlmBk mq-
I т jk
= HSpq,lmAlm> (2.1.78)
I т
причем элементы суперматрицы даются выражением
Spq,lm=h SjkB,.p?k.mq (2.1.79)
Jk
и их можно записать с помощью элементов прямого произведения матриц, обозначаемого знаком
Spq.,т = E SikCBj <8> Bk)pqJm, (2.1.80)
jk
где Bk — транспонированная матрица В*. (SpqJm) является матричным представлением супероператора S. Отсюда следует, что матричное представление супероператора получается как сумма прямых произведений матричных представлений составляющих операторов.
Представление суперматриц в виде прямых произведений матриц в подходящем базисе можно применять для расчета суперматричных представлений коммутаторов и унитарных преобразований. Для коммутаторного супероператора С выполняется следующее соотношение:
CA = CAE-EAC, (2.1.81)
(L) = Ю ® Ш (E) ® (Z) =
0 1 1 0 • 0 (8? 0 1
ІЛІ
1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 - V2 1 п 0 0
I и и и и и 0 1
0 1 0 0 0 0 1 0
0 -1 1 0
-1 0 0 1
1 0 0 -1
0 1 -1 0
• 2.1.2. Конструирование матричного представления коммутаторного суперопера-
Топа f
'' для изолированного спина 1/2. 46
Гл. 2. Динамика ядерных спиновых систем
где E — единичный оператор. Это приводит к матричному представлению л
(С) = (С) <Э (E) - (E) <Э (С). (2.1.82)
В качестве примера на рис. 2.1.2 изображено матричное представление коммутаторного супероператора Ix для одного спина, который в соответствии с (2.1.82) равен 1/2.
Кроме того, можно написать следующее матричное представление супероператора унитарного преобразования RA = RAR "
