ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
и
s,(t) • s2(t) S1(W)^S2(W), (6.4.22)
где двумерный интеграл свертки дается выражением
s,(t)**s2(t) = J ClT1 J dT2Sj(Tb T2)s2(fj - T1, t2 - т2). (6.4.23)
__/v
При записи выражения (6.4.22) для частотного вектора f множитель 4X2 опускается.
Использование выражения (6.4.22) позволяет путем простого умножения сигнала во временной области осуществлять важную с точки зрения повышения чувствительности и разрешения (разд. 6.8) фильтрацию с применением свертки. 6.4. Двумерное фурье-преобразование
367
6.4.1.4. Теорема мощности
Двумерные интегралы от квадратов абсолютных значений функций во временной и частотной областях связаны соотношением
f Is(I)I2 dt = ~ Jt*JS(U)\2 d«. (6.4.24)
Эта теорема используется для вычисления энергий шума и сигнала при рассмотрении вопросов чувствительности.
6.4.1.5. Теорема о связи сечения и проекции
В некоторых приложениях 2М-спектроскопии (см. разд. 6.5.5) быва-,ет необходимо вычислять косую проекцию спектра S(ooi, 002) на ось, составляющую угол ф с осью oj 1 (рис. 6.4.2, с). Такая косая проекция, обозначаемая как Р(ш, ф), является функцией только одной частотной переменной и и дается выражением
Р(со,ф)=\ ucd'S(od cos ф — со' sin ф, cd sin ф + cd' cos ф). (6.4.25)
J-X
Теорема о связи сечения и проекции [6.17, 6.19, 6.20] утверждает, что Р(оо, ф) и сечение сигнала s(h, h) во временной области, проходящее через начало координат h = h = 0 и образующее угол ф с
а б
«2 t2
Рис. 6.4.2. а — косая проекция ф) двумерной частотной области на ось, составляющую угол ф с осью со, [выражение (6.4.25)], соответствует фурье-преобразованию косого сечения, проходящего через начало координат в двумерной временной области (б) под тем же углом ф к оси /і [выражение (6.4.30)]. Отметим соответствие предельного значения ф ~ jr/2 (проекция на ось да) выражению (6.4.30), а предельного значения ф = 0 (проекция на ось да) выражению (6.4.31). 368
Гл. 6. Двумерная фурье-спектроскопия
осью h (рис. 6.4.2, б):
c(t, ф) = s(t cos ф, t sin ф) (6.4.26)
связаны между собой фурье-преобразованием
Р(о>, ф) = 9{с(1, ф)}, (6.4.27)
c(t, ф) = F-1IP(O), ф)}. (6.4.28)
Учтем теперь принцип причинности. В 2М-спектроскопии [6.18] он означает, что сигнал равен нулю для отрицательных времен:
s(tltt2) = 0, для Z1 <0 и г2<0. (6.4.29)
Отсюда следует, что сечение во временнбй области, определяемое выражением (6.4.26), за исключением точки 5(0, 0), равно нулю при х/2 < ф < х. Поэтому косая проекция в частотной области, определяемая выражением (6.4.25), также равна нулю для углов х/2 < < ф < х- Для 2М-спектроскопии этот факт имеет важные следствия, которые мы рассмотрим в разд. 6.5.5.
При ф = х/2 получаем проекцию спектра S(сої, со2) на ось оо2
/•+ЭС
Р(со,ф = я/2)= S(O)u 0)2) CitO1 =
J-OO
= Wf1 = O, f2)} =
= S(J1 = OfW2). (6.4.30)
Проекция на ось сої соответствует углу ф = 0:
/• + ЭС
P(O), ф = 0)= S(O)1, о)2) do)2 =
j — OO
= Fis(I1Zt2 = O) =
= S(O)1, t2 = 0). (6.4.31)
Заметим, что проекция, определяемая выражением (6.4.30), эквивалентна одномерному фурье-преобразованию получаемого при t\ = 0 одиночного сигнала свободной индукции [первая строка матрицы S(h, W2)] относительно переменной t2. В то же время для того, чтобы получить co1-CneKTp, определяемый проекцией (6.4.31), необходимо пройти весь диапазон значений переменной tu т. е. проделать всю серию экспериментов с приращением по t\. Однако при этом достаточно регистрировать только одну точку по переменной t2.
Аналогичным образом проекции во временнбй области можно связать с сечениями сигнала в частотной области. 6.4. Двумерное фурье-преобразование
369
6.4.1.6. Соотношения Крамерса — Кронига в двух измерениях
Для реального, причинно-обусловленного импульсного отклика s(t), причем
s(t) = 0 при t < 0, (6.4.32)
вещественная и мнимая части фурье-преобразования S(oo) связаны парой преобразований Гильберта
Si(O)) = $?{Sr(ft>)}, (6.4.33)
S,(e>) = -*{$(<»)}, (6.4.34)
где преобразование Гильберта Ж определено выражением (4.1.18). Формулы (6.4.33) и (6.4.34) называются соотношениями Крамерса — Кронига. Две компоненты S1 (оо) и Si (oj) являются двумя спектрами, у которых разница фаз составляет ф = — тг/2. Следовательно, преобразование Гильберта можно рассматривать как преобразование, сдвигающее фазу на - тг/2. Таким образом, линейная комбинация, составленная из отдельно взятой одной компоненты комплексного спектра и ее преобразования Гильберта, позволяет получить фазовый сдвиг на произвольный угол [6.18].
Двумерная функция s(ti, tг) во временном представлении обычно является причинно обусловленной по обеим временным переменным и поэтому равна нулю при t\ < 0 и ti < 0 [см. выражение (6.4.29)], за исключением случая, когда временная область расширена, чтобы включить область t < 0. Соотношения Крамерса — Кронига обычно применимы к обеим временным переменным:
^1HSr(O)11 со2)} = Si(O)1, со2}, (6.4.35)
^2HSr(O)1, CO2)) =Si(O)1, o)j}, (6.4.36)
где преобразования Гильберта и Ж*® относятся к переменным соответственно wi и 002. Следует заметить, что оба преобразования дают одинаковый эффект и, будучи примененными последовательно, приводят, если не учитывать смену знака, к исходному спектру. Имеются ЛИШЬ две ортогональные компоненты Sr(00i, 002) и Si(ooi, 002) и только одна фазовая переменная. Потеря второй фазовой переменной приводит также к тому, что в 2М-спектроскопии часто невозможно полностью разделить сигналы поглощения и дисперсии (см. разд. 6.5).
