Биофизика - Владимиров Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующем сдвиге функционирования органа.
Почти во всех существующих моделях электрическую активность органов и
тканей сводят к действию определенной совокупности токовых электрических
генераторов, находящихся в объемной электропроводящей среде.
Эквивалентная схема токового генератора в проводящей среде представлена
на рис. 65. Токовый генератор имеет высокое внутреннее сопротивление R,
во много раз превосхо-,sf дящее сопротивление внешней нагрузки (среды) R
0. По закону Ома для полной электрической цепи / =/" = Ц = Е/(R + R0),
где / и /0 - сила тока в генераторе и сум-марного тока в среде; Е - э. д.
с. генератора. Поскольку
173
г
* Рис. 65. Эквивалентная электрическая
' схема токового электрического генера-
тора и внешней проводящей среды, а, б - полюса генератора.
R R0, / = / о " ElR. Согласно
этому соотношению, сила тока в генераторе и суммарного тока во внешней
среде (нагрузка) не зависит от сопротивления внешней среды. Для токовых
генераторов выполняется правило суперпозиции электрических полей:
потенциал поля совокуп-
ности генераторов равен алгебраической сумме потенциалов полей,
создаваемых отдельными генераторами.
Пространственная структура электрического поля, создаваемого во внешней
среде генератором, определяется положением его полюсов. Для расчета
потенциалов этого поля генератор представляют в виде токового
электрического диполя - системы из положительного полюса (истока
электрического тока) и отрицательного полюса (стока), расположенных на
небольшом расстоянии друг от друга.
Важнейший параметр токового электрического диполя - электрический
дипольный момент D. Это векторная
-> ->
величина, определяемая соотношением D = II, где / - ток в диполе (равный
суммарному току во внешней среде),
I - вектор . расстояния между полюсами. Направление вектора дипольного
момента принимается от отрицательного полюса к положительному (совпадает
с направлением тока внутри диполя).
Диполи в зависимости от их размера разделяют на два типа: точечные и
конечные. Точечным называют диполь, который занимает бесконечно малый
объем пространства
(I -*¦ 0). Теоретически рассматривают также электрическое поле отдельных
полюсов диполя, которые в таком случае называются униполями.
В дальнейшем мы будем принимать, что окружающая токовые диполи среда
однородна в электрическом отношении, ее удельная электропроводность по
всем направлениям одна и та же. В организме окружающая токопроводящая
среда имеет конечную протяженность, так как ограничена по поверхности
тела изолятором (воздухом). Это 174
Рис. 66. Схема к выводу формулы потенциала влектрического поля,
создаваемого униполем.
Стрелки показывают направление тока в среде.
ограничение среды оказывает влияние на структуру внешних электрических
полей тканей и органов. В ряде случаев механизм генеза этих полей изучают
при допущении, что окружающая генератор среда бесконечна.
9.2. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ТОКОВОГО УНиполя в ОДНОРОДНОЙ
НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
Для любой точки В, находящейся на произвольном расстоянии г от
положительного униполя (рис. 66), по закону Ома в дифференциальной форме
dyу = - Jpdr, (9.1)
где - потенциал; J-плотность тока; р- удельное сопротивление среды. Через
сферу с радиусом г и площадью поверхности 4лг2 протекает суммарный ток,
равный выходящему из униполя току /. Поэтому J = //4яг(r). Чтобы найти
выражение для q>v, проинтегрируем уравнение (9.1) в пределах расстояния
от г до оо и потенциала от q>y до нуля (принимаем уу =0 при /¦-"¦ с"). В
результате получаем
<fy = pl/4itr. (9.2)
Потенциал поля отрицательного униполя равен - у у.
9.3. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМОГО КОНЕЧНЫМ ДИПОЛЕМ
Поместим конечный диполь отрицательным полюсом в начало координат 0 (рис.
67). Потенциал ф в точке регистрации В равен сумме потенциалов униполей:
ф = р// 4jtrt - р//4пг, где г, и г - расстояние между положительным
полюсом А и точкой В и между отрицательным полюсом и точкой
В. Обычно величина I диполя и, следователь-
175
Рис. 67. Схема к выводу формул потенциала электрического поля,
создаваемого конечным диполем (1) или точечным квадруполем (2).
но, г, не известны. Поэтому <р удобнее представлять в виде зависимости от
г, дипольного момента и угла (а) между направлением регистрации
потенциала и направлением вектора дипольного момента. По теореме
косинусов из рис. 67 находим:
гх = /г* + Р - 2rl cos а
и тогда имеем
<Р = р//4w l Н - р//4кг, (9.3)
где введено обозначение Н - (I2 - 2r/cosa)/ra.
Известно, что при условии г >1, а значит - 1 < Н < 1, функцию 1 /V1 + Н
можно разложить на многочлен по степеням Н, представляющий собой
бесконечную сумму убывающих членов. В результате этого получаем:
oil cos a p/P(3cos2 а - I)
+ ± 5? (9.4)
где G обозначает сумму членов, которые пропорциональны 13/г\ 1Чг* и т. д.
Таким образом, потенциал конечного диполя описывается бесконечной суммой
убывающих членов (убывающим рядом), зависящих от расстояния как 1/г11,
