Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
тать, что D(;2)=Nl?|— (M?j)*=2.) Поэтому оценкой для о* является величина
1
о*= — lit— а
I*
Этим результатом пользовался Гаусс. В XX в. были рассчитаны таблицы распределения хи-квадрат. С помощью них легко для данного небольшого числа а найти такие числа а 'л А, что
и 9[х1>А}=л!2. Тогда Р{а<х2<Л}=1-*•
Подставим в последнее выражение величину ||дг—а||*|з*, лмеющую распределение х*- Получим
р(«<
Решая неравенство, стоящее под знаком вероятности, относительно неизвестного параметра о*, получаем
Р{|1* ~ а\|*И < о* < II* - а\\1а) - 1 -
что дает доверительный интервал для о2.
При малом k этот интеграл получается широким; при большом k — узким. Действительно, в силу центральной предельной теоремы распределение х* при большом к
аппроксимируется нормальным N(k, У^2к), так что числа А и а, имея порядок величины к, отличаются друг от
125
друга на величину порядка |/Л, т. е. отношение А/а близко к 1.
Теперь рассмотрим так называемую „стьюдентпзацию (прием, связанный с псевдонимом жStudent“ английского статистика Госсета). Нас интересует случайная величина a — a = projt8. Ее распределение известно нам с точностью до параметра о (который входит линейным множителем в компоненты 8(=о!, вектора 8). Если мы разделим а—а на какую-нибудь случайную величину, в которую тоже входит линейным множителем о, то о сократится и получится случайная величина, распределение которой не зависит от неизвестного параметра. В качестве знаменателя удобно взять о =*Kl|x — « o]/"/J/A . Получим
выражение (в— в)/о, в котором числитель и знаменатель— независимые случайные величины (числитель есть проекция б на L, а знаменатель есть функция от проекции б на L', ортогональное к L')\ распределение этого отношения не зависит от о.
Последнее выражение рассматривают либо по компонентам а,—а4 вектора а—а, либо в смысле квадрата длины ||a — a||2/a*.
Для рассмотрения по компонентам служит так называемое «распределение Стьюдента».
Определение. Пусть ? — случайная величина с распределением N(0, 1); xi — независимая от ? случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с k степенями свободы. Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение частного
К=\/\/:/ХГь-
Переходя к рассмотрению компонент а,-—а,= (projt6)i, мы должны теперь сказать, какой выбран базис в L. Проще всего, если этот базис — ортонормированнын. Тогда все а,—а,- (при различных t) независимы, имеют распределение N(0, о) и каждое отношение случайных величин (a,—a,)/a имеет распределение (fc=dimU=n—dim L). Отсюда легко
написать доверительные интервалы для а,-.
Но в конкретной задаче ортонормированный базис может оказаться нефизичным (ниже скажем об этом подробнее). В любом случае а,—а,- есть линейная комбинация величин
6|... бп, а следовательно, имеет нормальное распределение
N(0, о,), где о, пропорционально о (гарантирована также независимость а,-—а, от о). Следует подсчитать в зависимости от конкретного выбранного в L базиса, чему равняется оь и до-
126
бавить такой постоянный множитель с„ чтобы дисперсия a(ai—ai) равнялась о. Тогда ci(a{—а,)/о вновь имеет распределение Стьюдента. Однако при разных i получаем, вообще говоря, зависимые величины.
Теперь рассмотрим квадрат длины На—а!12/о2.
Определение. Пусть х* и — Две независимые случайные величины, имеющие каждая распределение хи-квадрат, соответственно с т и п степенями свободы. Распределением Фишера с (т. п) степенями свободы называется распределение частного
Р 1 у2 j 1 yi
• m, л —--I ““
m п
Рассмотрим (не зависящее от выбора базиса в L) выражение
' ||а-а|р/;*=—!—IIS-all’ /
dimZ. dim/. / dim L
Оно, очевидно, имеет распределение Фишера fdimL, n-dimL. Отсюда легко написать доверительную область для а, имеющую вид шара, лежащего в L.
Продолжим теперь разбор некоторых примеров, связанных с общей линейной моделью. Ограничимся случаем выборки и сглаживания наблюдений.
3.3.4. Выборка. Соответствующее линейное пространство
L={(ax, ..., ап):ах= ... =ап)
одномерно; базис в нем состоит из одного вектора е=
= (1 /Vn.... 1 /Уп). Проекция вектора наблюдений х—
~ (х\, .... хп) на L имеет вид
projtx = (х, = ........—1_ \ =
/я I К» V^n I
— (*........ж),
т. е. оценкой математического ожидания а=Мх,- является х. Далее,
Цх—projbJc||^=S(jc<—х)2=(п—l)s2 не зависит от х и имеет распределение o*Xn-1 (°* “ Dx,).
Вектор (а, а.........а) имеет вид аУп (МУ~п1 /Уп) ¦¦
= а|//Г е. Поэтому распределение Стьюдента /n~i будет иметь отношение разности 'ZxiYn—аУп=Уп (х—а) к » = о. Впрочем, и без соображений, связанных с проек-
127
