Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
? — 2 cjicjH, то
= 2 2 ¦“ yl amc/P (AmCjjAm) «¦
(использованы соотношения P(AlC,\Am) = 0 при i + m, P(AmCj\Am)-P(Cj\Am)).
Замечание 3. В случае безусловного математического ожидания существует вырожденный вариант леммы 3: возьмем разбиение Q, состоящее из единственного элемента й; тогда условное математическое ожидание совпадает с безусловным; единственная измеримая функция есть константа с\ лемма 3 сводится к утверждению: М (eg) =сМ|.
Замечание 4. Пусть А = + Ai, + • • . есть объе-
динение каких-то элементов разбиения $. Тогда по лемме 3
M«(U) = /*M*?. (10)
Применяя к (10) правило (9), получим
ММ„(1А%) - ША1 = М(/AMag), (11)
или в терминах интеграла Лебега
SJaIР(</«>) - J lP(d*) - j /аМ^РИш) - J М.5Р (da). (12)
Утверждение. Условное математическое ожидание однозначно определяется следующими двумя свойствами:
1) М«? есть К-измеримая функция; (13)
2) HP(<M«jMe?P(dcD). (14)
А А
138
Действительно, беря в качестве А одно из Аь из (14) однозначно определим (по Б) значение на <оеЛ,-: левая часть (14) определяется по ? однозначно, при юеЛ,- в си-
лу ^-измеримости Тогда из (14) получаем
й = |5Р(Ао)|Р(Л0.
Ai
Вскоре увидим, что свойства (13) и (14) можно положить в основу общего определения условного математического ожидания. Но сначала рассмотрим пример применения правил исчисления.
1.3. Пример применения правил исчисления. В статистике довольно широко употребляется такое заклинание: «дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию условной дисперсии плюс дисперсия условного математического ожидания». Его смысл состоит в следующем.
Пусть даны случайная величина Б и разбиение $. Условной дисперсией называется D«? = Ма(Б — Ми!)*- Утверждается следующее равенство:
Dl = fAD& + DM«5. (1)
Действительно,
Щ = М(Б - М$)* = ММЯ(Б - М*Б + МяБ - МБ)* =
= MM.KS - м«Б)* + 2(1 - МяБ)(м*Б - МБ) + (м«Б -
— МБ)*] = ммя(Б - мя?)* + м(м«Б—МБ)* +
4- 2ММЯ(Б - МяБ) (МяБ - МБ).
Первые два члена дают правую часть (I), последний член равен нулю: так как выражение М«Б — МБ является 81-из-меримым, ММ«(Б - М«Б)(МЯ? - М;) - М(|М«5-МБ)Мя(Б—М«Б)>, МзК|-Ма?) = МяБ —МяМ«Б = 0, ибо МЯМ*Б= МяБ (М«Б есть уже ^-измеримая функция и второй оператор Мя ее не меняет). Итак, формула (1) доказана.
Применим ее к следующей практической задаче. Биология в наше время настойчиво хочет быть количественной наукой и постоянно определяет количество особей разных видов. Конкретно речь пойдет о фитопланктоне.
Количественный учет фитопланктона заключается в том, что из водоема берется проба — некоторое количество воды, которая процеживается через мелкую сетку, задерживающую фитопланктон (чтобы слить лишнюю воду). Потом сетка ополаскивается небольшим количеством воды, и получается концентрированная проба планктона объемом в несколько кубических сантиметров. Из этой пробы после перемешивания берется одна или несколько капель точно известного объема
0,05 см3 и под микроскопом (практически без ошибок) опре-
139
деляются все виды клеток фитопланктона и число клеток каждого вида, которые находятся в этой капле. Потом производится пересчет на объем водоема (верхнего слоя, в котором живут фотосинтезирующие водоросли). Спрашивается, с какой точностью оценивается число клеток в водоеме?
У этой проблемы есть два аспекта — трудный и простой.. Трудный аспект заключается в том, что в естественных условиях планктон распределяется в водоеме крайне неравномерно. Можно лишь экспериментально (беря много параллельных проб) оценить степень этой неравномерности (эту задачу мы рассматривать не будем). Легкий же аспект относится к точности определения числа клеток в пробе по данным об обработке нескольких капель по 0,05 см3. Если бы фитопланктон плавал одиночными клетками, мы ориентировались бы на закон Пуассона.
Именно если всего сосчитано ц клеток данного вида, то оценкой математического ожидания X числа клеток (в соответствующем числе капель) будет само ц, а порядок величины возможного отклонения будет УХ, который мы заменяем! на Уц. Относительная ошибка будет примерно Уц/м- Например, если сосчитано ц=100 клеток, то с определенной гарантией относительная ошибка не превосходит 2Уц,/ц=20%.
Но отдельные клетки фитопланктона объединяются в колонии. Живые колонии могут состоять из десятков клегок. При хранении проб колонии разрушаются, но все-таки могут иметь несколько клеток. Ясно, что из-за этого относительная точность делается хуже, но нужно узнать, насколько именно.
Построим статистическую модель. Представим себе следующую схему. В пипетке, которой отбирают 0,05 см3, оказывается некоторое случайное число v колоний, допустим, подчиненное закону Пуассона (опыты не совсем подтверждают закон Пуассона, но дают довольно близкий результат). При условии, что число колоний равно п, численности клеток в них
