Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 54

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 161 >> Следующая

&2 заведомо достаточна. Проверим при этом предположении гипотезу Н: tAxeLidL2.
Если MiGii, то proji, х — projL, х = pro j,' x •= pro j,' A
» l '
где L\ — ортогональное дополнение Lt в Lt. Следовательно,
Д2 - д* = llproji.* — projt, x\\* = ||projL- в||*
имеет распределение «‘x**,-*,) (так как kt—kt — dimLi). Эта величина не зависит от о| = —-—||х — projr.,лг||2. Таким об-
п — kt
разом, при верной гипотезе Н отношение
A? —
ч
имеет распределение Фишера с указанным числом степеней свободы. Проверка гипотезы Н сводится к проверке того, не является ли значение статистики (1) значимо большим с точки зрения указанного распределения Фишера.
Пример. Рассмотрим задачу сглаживания наблюдений Х\, Х2, .... х„ прямой, т. е. модель
Xi=flo + о 1 ti + 6|.
Ортогонализуем систему векторов Г°=(1, ..., 1) и Г = = (t\...tn).
Получим систему Т° и T=(ti—t, ..., tn—t), где /= =hti/n, и модель вида
jc—Ь\У+б, bi^di. (2)
Очевидно, Ьо=х,
130
*«—*1. л—hi :
b -{X'T) (x-xT0,T) Z(x,-x)(t,-~t)
1 = (Г,Г)“ (Т.Т) l(t,-l)*
Поставим вопрос о том, значимо ли отличается Ьх от нуля (этот вопрос интерпретируется как вопрос
о наличии связи между значениями х, и если можно принять Ь, = 0, то значения х, не аависят от ^). В силу ортогональности Т° и Г из (2) получаем —
— (8, Т)/(Т, Т)\ следовательно, разность — Ьг имеет нормальное распределение, причем м(^ — Ьг) = 0, D(bi — bt) = = V/(T, Т).
Сумма квадратов кажущихся ошибок
Д* = 2 (*« - х—b\(tl - ?))2 i-i
имеет распределение а2Хп-г¦ Поэтому статистика
(bi-bi)/(T7n
‘n-2 — WJ
Vb4(n~ 2)
имеет распределение Стьюдента с п—2 степенями свободы.
Проверка гипотезы bi=0 сводится к вычислению левой части (3) при &i=0 и определению того, не является ли полученное число значимо большим (по модулю) с точки зрения распределения /„_2.
Для того чтобы сравнить полученный результат с результатом, который вытекает из другой статистической модели — модели зависимых случайных величин (ее мы рассмотрим в следующей главе), запишем его в других обозначениях. Положим
SiX = п _ j (¦*/ ~ *)(*! *)•
Выборочным коэффициентом корреляции называется отношение
Г = Stx / Vs*si = sj(sxst).
В данных обозначениях bi=rsx/st, (Т, Т) =
Л* - 2 (*. - ~*У-Ъ\(Т, Т) = (п- l)[s2 - r'slsr4) =
= (п — 1)4(1 — г*).
9* 131
Поэтому при Ь|=0 дробь (3) превращается в выражение
<-=- "УГЕ1~: »)
V \ — г»
Мы нашли преобразование, приводящее случайную величину г к случайной величине tn-2 с известным распределением. Отвергаем гипотезу об отсутствии связи между xt и если значение величины (4) слишком велико по абсолютной величине.
В точности такое же правило получается (как увидим в следующей главе) при проверке наличия зависимости между компонентами двумерного нормального распределенного вектора. Не следует, однако, смешивать эти модели: в модели метода наименьших квадратов теснота связи между лс,- и ti измеряется дисперсией случайной добавки D6“=o2. При наличии хоть какой-нибудь связи ф\ф0, но сколь угодно мало) высокий коэффициент корреляции г может быть получен за счет произвольного расширения интервала, на котором берутся (по нашему выбору) значения независимой переменной fi. ь. —. *п- Следовательно, близкое ±1 значение г может быть следствием выбора очень широкого интервала для изменения /.
В модели с двумерной случайной величиной разброс значений каждой компоненты не в нашей власти: что уж принесет случайный эксперимент. В этой модели близкое к ±1 значение г с большим основанием указывает на тесноту связи между компонентами.
Замечание. При проверке адекватности сглаживания наблюдений многочленом (или какой-то другой функцией) не ограничиваются, конечно, исследованием суммы квадратов остатков. Сама последовательность остатков должна по своим свойствам напоминать последовательность независимых случайных величин (а не какую-нибудь плавно изменяющуюся функцию вроде синусоиды). Мы не имеем здесь возможности останавливаться на соответствующих статистических критериях.
ГЛАВА 4 ПОДХОДЫ К ИЗУЧЕНИЮ ЗАВИСИМОСТИ
В главе 2 мы занимались в основном общими понятиями, а в главах 1 и 3 — независимыми событиями и случайными величинами (дискретный случай — в главе 1, общий случай — в главе 3). Теория вероятностей в случае независимости имеет одно важное достоинство: она в известном смысле
132
самозамкнута, так как, в общем, умеет сказать, каким образом нужно извлекать из эксперимента необходимые для приложений вероятности, математические ожидания или дисперсии. Есть у нее и важный недостаток: она не вполне правильна, например, извлекаемые из нее доверительные интервалы часто не удовлетворяют теоретическим ожиданиям (не содержат истинного значения измеряемой величины). Все же общая качественная картина явлений, даваемая этой теорией, очень часто заслуживает внимания; надо только правильно к ней относиться.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed