Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
QU) = .U(u,)P(do)), (3)
А
то случайная величина ^(ш), определяемая (2), может быть взята в качестве Мя?.
Условной вероятностью Р(?|Щ) = Ри(В) назовем Мя/*• Проверим выполнение основных правил исчисления. Под-ставив в качестве А все Q в (2) и (3), найдем, что
?Ми&Р(Ло) = ММЯ? = j |Р(<*ш) = МI.
Очевидно и свойство линейности:
+ ?»)) = аМя + ЬМж, а, b — числа.
Что касается последней формулы исчисления — леммы 3 п. 1.2, ю нетрудно проверить, что она также верна. Возьмем сначала ч\ = /*„ Л0е91. Проверим, что M*(6tj) — •=t)Ma?. Измеримость 7)МЯ1 очевидна. Подставим TjMa? в интегральное тождество:
i^,Ma?P(dco)=r f M«EP(d«.)= f lP(du,) =
А ААЩ AAt
= J /^P(d0)).
A
Итак, интегральное тождество выполнено.
Если, далее, т) — конечная линейная комбинация индикаторов множеств из А, то для нее также верно, что
ЛЫ&]) = т]Мяё.
Пусть т) — произвольная случайная величина, такая, что М|т]||<оо. Пусть tin—>т], где каждая т)п есть конечная линейная комбинация индикаторов:
rm я 2 ^*/п^ч<(*+-1)/л(ш)>
к п
причем сумма берется по k, таким, что |*|<«*. Тогда интегральное тождество выполняется для величин т)яМ«?. Но 1Тп1Ля|-+7)Мя1 и функции т]пМи1 равномерно интегрируемы. (Это означает, что для всякого е>0 найдется 8>0, такое, что если Р(Л)<8, то | |т]пМя$Р(йй>)|<г.
А
143
Действительно, |f^„Ma|P(d(o)|=|j|iinP(du>)|<j|^h| -f •^P(dcu),
но функции |;tj| и HI предполагаются интегрируемыми. Как известно, из равномерной интегрируемости следует возможность предельного перехода под знаком интеграла, а следовательно, выполнение интегрального тождества для *)МИ?. Итак, свойство = ^Ми^. если М^К*»,
случайная величина г, измерима относительно К, доказано.
Замечание. Несмотря на успешное и легкое обобщение основных правил исчисления на общий случай условных математических ожиданий, невозможность определить это понятие иначе, как с точностью до множества меры нуль, ведет к существенным трудностям. Невозможно, например, без дополнительных уточнений рассмотреть условную функцию распределения
Р{^<дс|Щ>
при всех лее/?1, так как при каждом х возникает свое исключительное множество Ах меры нуль; однако различных х имеется континуум, так что объединение UАх' может быть не-
X
измеримым (либо иметь меру, отличную от нуля). Мы не будем рассматривать эти трудности, ограничившись тем, что в простейшем случае укажем способ вычисления условных математических ожиданий. (По поводу трудностей такого характера см. книгу А. Н. Ширяева [46]J
1.5. Условная плотность. Пусть § — случайная величина. Обозначим через Ш — f&z наименьшую а-алгебру, относительно которой ? измерима, — множество всех прообразов = {ш:|(ш)еЕ#| борелевских подмножеств В пря-
мой R1. Будем обозначать через Мг условное математическое ожидание М»..
Измеримые функции относительно 9Ц имеют вид С =» =?(!), где g(x) — измеримая по Борелю функция х (нам понадобится лишь очевидное утверждение, что ?(;) измеримо относительно Щ„).
Пусть 1, т) — пара случайных величин, имеющих совместную плотность распределения Ри(х, у). Введем понятие условной плотности р„/ 1=х (у) распределения случайной величины т) при условии, что случайная величина g приняла значение х.
Определение. Положим
(Рг р/х)фо
РъЧ-х(у) = р^х) г* /-г-
0 , если Ре(*)-
144
Укажем способ вычисления где /(х) — измери-
мая по Борелю функция х. Окажется, что эта случайная величина имеет вид g(|), где g — измеримая по Борелю функция. Следовательно, на множестве {и>: |(ш) = *} значение есть g(x). Обозначим значение g{x) =
= M^f(t))через M(/(?])|g = х).
Теорема. Значение условного математического ожидания выражается формулой
Доказательство. Выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части (1), представляет собой результат интегрирования по переменной у некоторого выражения, составленного из измеримых по Борелю функций; следовательно, в целом есть некоторая измеримая функция g(x). Остается проверить интегральное тождество. Каждое имеет
вид А = !-1(5), В сг Д1. Следовательно, /д(<») = /в(!(ю)). Поэтому
J /(ч)Р(Ло) = j /в(1Н)/(*1)Р(<И = 1W{1B(WW- (2)
Для вычисления математических ожиданий в (2) и (3), равенство которых нам нужно доказать, воспользуемся выражением математического ожидания функции от случайной величины через интеграл от плотности распределения. Получим
М(/(?))|? = *) = ?(*)= I f(y)Pn\i—x(y)dy. (1)
Л
Далее,
оо оо
