Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Теория зависимых событий и случайных величин строится не для того, чтобы быть более правильной: с точки зрения приложений она может быть ориентирована лишь на еще более приближенное соответствие, чем теория случая независимости. Ее цель — охватить совсем другой круг явлений, включая, например, поведение динамической системы под действием случайных возмущений, когда напрямую о независимости говорить нельзя. Исследование ситуаций зависимости является более фрагментарным, чем для случая независимости, также и с теоретической точки зрения. Например, если в теории мы представляем себе последовательность независимых одинаково распределенных величин, то заданием распределения каждой из них однозначно задаются любые вероятностные свойства всей последовательности в целом. В случае же зависимых случайных величин чаще ограничиваются исследованием отдельных вероятностных свойств, не претендуя на исчерпывающее описание.
Мы соединяем в данной главе два теоретических вопроса — общую теорию условных математических ожидании и теорему Колмогорова о продолжении меры и один (сравнительно) прикладной — корреляционную теорию конечного числа случайных величин.
§ 1. Общая теория условных математических ожиданий
1.1. Введение. Классическое определение условной вероятности события В при условии, что событие А наступило:
Р(В\А) = Р(АВ)1Р(А) (1)
пригодно, если Р(Л)>0. Однако, оперируя с более или менее общим понятием случайной величины, мы, конечно (имея в виду зависимость случайной величины т) от случайной величины %), хотим говорить о вероятности того, что, например, {п>1} при условии, что {?=*}, же#1. Как правило, Р{?=*}=0, так что классическое определение использовано быть не может. Впрочем, если Р(А)=0, то для любого В, очевидно, Р(АВ)=0, так что в правой части (1) имеется некоторая неопределенность, которую (по крайней мере, в ка-
133
кнх-то частных случаях) можно надеяться раскрыть. Чтобы это сделать, надо придать определению условной вероятности некоторую интегральную форму. Как всегда, удобней начать с дискретного случая, вывести для этого случая ряд правил исчисления, а затем, вдохновляясь ими, дать общие определения (таким, однако, образом, чтобы правила исчисления сохранились и в общем случае).
1.2. Дискретный случай. Пусть пространство элементарных событий й={<1>} конечно или счетно. Рассмотрим разбиение 31={ЛЬ А2, ...} множества Q на (не более чем)
счетное множество частей А\, А2,—,Ап, : Q=i4i + i42+ —
+Ап+ ..., AtAj-0, Р(А<)>0, i=l, 2, ... (2)
(И — готическая буква «А»).
Для любого определены условные вероятности РА/(В) = Р(В/А') = Р(А,В)/Р(А,), i=l, 2................
которые разумно рассмотреть совместно. Оказывается, это совместное рассмотрение хорошо (с точки зрения вывода простых формул исчисления) сделать некоторым хитрым образом, объявив вероятности Р* (B) = P(B/Ai) значениями некоторой случайной величины. Введем в рассмотрение условную вероятность относительно разбиения 81, обозначаемую Ри (В), или Р(В/Ч).
Определение 1. Положим
Р*№ = 2 PAi(B)iAl(<i>), шей, (3)
i=l * *
где Р«(Я)|» обозначает значение случайной величины Р«(?) на элементарном событии «в е 2, РAt{B) •= Р(В/А{) — классическую условную вероятность.
Иными словами, на юеЛ; условная вероятность Р*(В) принимает значение Р(В[А{).
Лемма 1. МРЯ (В) = Р(В) (4)
(математическое ожидание условной вероятности равно безусловной вероятности).
Действительно,
MP*(5) = S P(BIAl)P(Ai) = P(B)
isl
(в силу формулы полной вероятности).
Иначе можно сказать, что формула полной вероятности получила эквивалентную чуть более краткую формулировку
(4).
Введем теперь понятие условного математического ожидания. Пусть дана случайная величина !=!(c>), принимаю-
134
тая значения сх, с2, сп>... на множествах Сх, С2, .... Сп,...:
I «* ?(©) = 2 «/<?,(“)• (5)
Определение 2. Назовем условным математическим ожиданием М(?/Я) =Мя| случайной величины | относительно разбиения 31 случайную величину, определяемую следующей формулой:
М(Й*) = М«Е2*,-Р«(С,). (6)
Нужио, конечно, убедиться, что ряд в правой части (6) сходится. Обычно определяют условное математическое ожидание M(?|9f) в предположении, что безусловное математическое ожидание М? существует, т. е. 21С/1Р(^/Х
< ло. Так как при и>еЛ, по определению 1 Ря(С,)|<.= Р(Су4,)/Р(4{). то (при ©еЛ,) правая часть (6) допускает оценку
2 \с,\ЫС]% = 2 |c,|P(c,^i)/P(^i) <
/-1 /-1
00
<ч5гЦ|еЛС')<“-
/-1
Поэтому при каждом © (каждое ©ей принадлежит какому-то А;) правая часть (6) определена корректно, если только М| существует.
Как ранее определение интеграла Лебега для элементарном случайной величины, наше определение (6) формально зависит не только от самой случайной величины ?=?(©) (т. е. от соответствия ©—*-?(©)), но и от способа представления |(©) суммой вида (5). Нам снова нужно доказать, что если случайная величина ?=?(©) представима в двух разных видах:
