Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
циями, ясно, что Уп (х — а) имеет нормальное распределение N(0, в). Итак,
tn-i =- Уп (x — a)ls
имеет распределение Стьюдента с п—1 степенями свободы. Отсюда обычным путем можно получить доверительный интервал для а.
Замечание. Стьюдентовская теория справедлива лишь в том случае, когда распределение элементов выборки {*,-} нормальное. Оно действует при любом объеме выборки п^2. Если не предполагать нормального распределения хто возможна лишь асимптотическая теория для больших п, основанная на центральной предельной теореме.
Любопытно, что стьюдентовский вариант сравнения математических ожиданий двух выборок xi,...,xm и у\,...,уп возможен лишь в предположении ах=ау=а. Он состоит в следующем. _ _
Если Млс,=М«//, то разность х—у имеет (при независимости Х\, хт и у и ..., уп) нормальное распределение;
Щх—у)=0, Ъ(х—у)=а2(\/т+\/п). Оценки дисперсии sj и s* независимы; следовательно, сумма
(т — l)s* + (п - l)sj = — х)~ + S {tjj — У?
имеет распределение о*у%+п-2. При этом совместное распределение х, у, s|, sI есть распределение четырех независимых случайных величин. Отсюда вытекает, что дробь
(х — у)/|/ l/m+1/n fm+n—2 = — ~
V [(m — l)s* +(n- 1 )»*]/(« + П -2)
имеет распределение Стьюдента с т+п—2 степенями свободы.
С помощью таблиц распределения Стьюдента обычным путем назначается критическая область для проверки гипотезы Мдс<=М#/.
Если ахфОу, то стьюдентовского варианта сравнения математических ожиданий не существует.
Сравнение таблиц распределения Стьюдента с таблицами нормального закона показывает, что при малом числе степеней свободы k распределение /* «шире» нормального (это означает, что если, например, для случайной величины |, подчиняющейся закону N(0, 1), имеем: P{\%\<.A}=p, то для величины in обязательно.Р{\tk\<A}<p). Следовательно, доверительные интервалы, построенные с помощью распределения Стьюдента, будут шире, чем построенные с помощью нор-
428
мального распределения (так учитывается несовпадение оценки дисперсии s2 с истинной дисперсией о2). При k порядка30 и более различие делается ничтожным.
3.3.5. Сглаживание наблюдений. Общая линейная модель может быть не вполне адекватной задаче сглаживания наблюдений многочленом. Так, в примере 4 п. 3.3.1 коэффициенты а0, а{, а2 многочлена x(t) имеют четкий физический смысл: а0 — длина тела при /=0, ai — коэффициент линейного расширения, а2 — возможная поправка на нелинейность. Между тем с точки зрения линейной модели все равно, какой базис выбрать в L (т. е. все равно, какие линейные комбинации коэффициентов а0, аь а2 считать подлежащими определению). Но мы рассмотрим задачу сглаживания наблюдений, считая, что интересен лишь результат сглаживания. Для начала пусть известна степень k многочлена, которым мы собираемся сгладить наблюдения. Итак, пусть
xt *= x(tt) sm P(tt) 8, = а0 + # . -j- akti -f- 8„
где б, независимы и имеют нормальное распределение ЩО, а). Вводя векторы •* = (*,, хп), 7’* = (1, 1,..., 1),
Т1 =• (tv t...... tn), . . . , T* = (tu tl, ... , tn) и считая, что
векторы Т°, Т1, . . . , Тк линейно независимы, сведем задачу к проектированию х на линейную оболочку L векторов Т°, Т\ . . . , Тк. При этом оценки коэффициентов з0, cti, . . • , 0k определяются из условия
projLдс= а0Г° + aj1 + . . .+а11Тк,
что эквивалентно условиям ортогональности разности
k
х — S а{Т1 к любому Р, 7=0, 1, . . k. Из условий
«—о
ортогональности получаем для определения систему уравнений
S Нт1, Р) = (Х, tj), / = о. 1,. . ., к.
i= I
к
Квадрат нормы Д* =
х — Ъ atTl
! п / к
= S \Xj — S arf)
/-1 V i-0 /
позволит описанным выше образом оценить дисперсию наблюдений.
Остановимся теперь на вопросе о выборе степени k сглаживающего многочлена. Чем ниже степень многочлена, тем больше результат сглаживания освобождается от случайных ошибок. Поэтому стараются пробовать малые значения 6=0, 1, 2, .... переходя к каждому большему значению только при явной необходимости. Сформулируем процедуру статистической проверки гипотезы, предназначенную для выяс-
9-2567
129
нения того, есть ли такая необходимость. Сначала мы береи значение k=kt, затем значение k=k7 и смотрим, нужно ли отказаться от k\ в пользу k2>k\.
Мы собираемся решить этот вопрос на основании сумм квадратов кажущихся ошибок Д? н д|, отвечающих значениям kt и А:2 (или линейным подпространствам соответственно LjcL2). Всегда будет Поставим вопрос о том, как
проверить гипотезу о статистически значимом уменьшении Дг по сравнению с Д*.
Для преобразования распределения разности Дт—Д5 к какой-то величине с известным распределением нужно исключить неизвестную дисперсию наблюдений о2. Сделаем это с помощью предположения, состоящего в том, что вектор Мх= (М.*1, ..., Млсп) заведомо лежит в L*, т. е. что степень
