Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 58

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 161 >> Следующая

Hi, Ц2.. Цп представляют собой случайную выборку из тех
численностей колоний, которые вообще имеются в данном объеме воды. (Закон распределения размеров колоний может быть, следовательно, получен статистической обработкой.) Общее число клеток есть
Ц=|11 + Ц2+ - +Hv.
Нужно найти дисперсию Dy. (точнее, отношение Уб^/Мц, называемое коэффициентом вариации).
Для читателя, впервые знакомящегося с вероятностностатистическими методами, небезынтересно будет узнать, какое здесь пространство элементарных событий. Пусть N обозначает натуральные числа 1, 2, ....
Число колоний v принимает значения п=0, 1, 2, ... .
140
Пространство ?2 есть объединение О, N, N2, .... Nn.... Ис-
ход опыта характеризуется значением v=n и п натуральными числами — численностями я колоний. Распределение вероятностей для п — пуассоновское, а условное распределение з соответствующем Nn — прямое произведение яХ ... Хп в
количестве п штук, где каждое л — распределение вероятно-
стей числа клеток в наудачу взятой колонии.
Подсчитаем Мц и 6ц. Имеем ( обозначая через М„, D„ условное математическое ожидание и дисперсию по разбиению 12 в сумму 0 + JV+JV2+...):
М|а= MMv(iix 4- ... + !*») = M(vMjij) = MvM.uj =
Dp. = MDvu + DM„u. = M(vD[ii) + D(vMu-i) =
D;>4 • Mv + • D v = /.(DJJ.J + (M^)*) = XMji?
(здесь X = Mv — параметр закона Пуассона; при этом Dv — = Mvb-X; М[а,. D;a{, М — параметры, характеризующие размеры колоний). Окончательно
1/рГ _1_ / Mi^ _
м.а т:ч I- -жг-
j_ -1 /'
V М;х * Мщ
При одиночных клетках коэффициент вариации составил бы 1/КМа. Он увеличивается в V М раз (прак-
тически нужно заменить числом всех подсчитанных клеток, а Мр/ и М р?—определить по выборке). Например, если число клеток в колонии может с равной вероятностью (= 1/5) принимать значения 1, 2, 3, 4 и 5, то
= 3, М[л?= 11, а коэффициент вариации ухудшается почти в два раза (при 100 подсчитанных клетках гарантируется ошибка, не большая 40%). Чтобы вернуться к точности 20% (как для одиночных клеток), нужно подсчитывать не 100, а 400 клеток.
1.4. Условная вероятность по А. Н. Колмогорову. Пусть дано произвольно? вероятностное пространство {О, 95, Р|, в котором выделена еще некоторая а-алгебра, 91С®. Наглядный смысл а-алгебры Щ состоит в том, что это гораздо более простая, чем 35, а-алгебра, содержащая меньше множеств.
Например, еслн й — квадрат, являющийся прямым произведением отрезков [0, 1]Х[0, 1], то в качестве 35 обычно берется борелевская а -алгебра на квадрате, содержащая, в частности, разнообразные геометрические фигуры. В качестве
141
Щ может выступать о-алгебра «полосок» вида А={(х. у)г xeBi, где В\ — борелевские подмножества отрезка
[О, 1]. Соответственно случайные величины — измеримые функции двух переменных f(x, у). Случайные же величины, измеримые относительно К, — это функции, зависящие от х (и не зависящие от у).
Пусть | — случайная величина (измеримая относительно ®); пусть М|?|<оо.
Определение. Условным математическим ожида-нием М(?|#) = МЯ? называется случайная величина, удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) она измерима относительно а-алгебры К;
2) для любого Л€=ЭД выполняется интегральное соотношение
j6P(<fa»)-.fM«P(d©). (1>
А А
В примере с квадратом речь идет о том, чтобы так усреднить функцию |=f(x, у) от двух переменных по переменному у, чтобы получилась функция g(x, у), зависящая от одного переменного х, удовлетворяющая (1) для любой полоски А.
Если Р — мера Лебега (Р(dx, dy) =dxdy), то результат прост:
1
g(x. ») = J f(x, y)dy.
О
Действительно, если i4=fiiX[0, 1], то
Я /(*. V)dxdy = | f f(x, y)dxdy = J (f f(x, y)dy) dx =
A B, 0 Bt\b I
I
— i I *(*. y)dxdy.
A,о
Существование условного математического ожидания в общем случае вытекает из теоремы Радона — Никодима, изучаемой в теории меры. Для интересующего нас случая вероятностного пространства эта теорема состоит в следующем. Пусть на некоторой о-алгебре 91 = & определена счетно-ад-дитивная функция множества Q(A) (это значит, что функция множества Q(A) принимает произвольные — не обязательно положительные — вещественные значения, причем Q(Vli + -М2 + -) ='Q(A\)-\-Q(Ai)+ ...). Пусть Q обладает свойством абсолютной непрерывности: если Р(А) =0, то Q(A)= 0. В таком случае существует измеримая относительно 31 функция т| (о>), такая, что
0И) - И->Р(«Ч, (2)
142
причем rj(to) определяется однозначно с точностью до множества вероятности нуль (см. книгу А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [23]).
Выведем из этой теоремы существование условного математического ожидания. Если положим для данной случайной величины |=?(ш)
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed