Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
61 — независимые случайные величины, имеющие каждая распределение N(0, о), причем неизвестное о не зависит от
I. (Классический метод наименьших квадратов допускает так называемые веса наблюдений; это означает, что D6-= =a2/wi, где о2 неизвестно, а wi — известные числа, называемые весами наблюдений. Веса наблюдений могут, например, возникнуть в том случае, когда каждое ди есть среднее иэ wi наблюдений. Однако умножением наблюдений xt на Мт общий случай сводится к случаю равных весов wi=w?=... ... =ш„=1.)
Основное предположение состоит в том, что
120
а=(ах, а2,.... a„)^L,
где L — некоторое известное линейное подпространство (случай, когда L — линейное многообразие, т. е. имеет вид L= =Lo+ao, где Lo — подпространство, во — вектор, сводится к случаю многообразия вычитанием из всех наблюдений компо-нент вектора а0).
Разберем примеры общей линейной модели.
1. Пусть о,, аг, а, — углы плоского треугольника; xlt х2, хя — их измерения (допустим, не имеющие систематической ошибки). Тогда дс|=а,+6„ где 6| — ошибка i-ro измерения. Должно, однако, выполняться равенство «!+«,+ + a, = ir. Вопрос состоит в том, чтобы использовать »ту информацию для некоторого улучшения наблюдений xv x2, xt: за приблизительные значения углов треугольника нужно взять некоторые другие значения х[, х'р х'3, такие, что х\ 4- х’2 + Jfj — я; хорошо бы, чтобы значения х\, х’2, х'3 были (в каком-то среднем смысле) ближе к истинным значениям av at, a3, чем первоначальные измерения
х2, Xg.
Такая задача называется задачей уравнивания измерений. При триангуляциях в геодезии задача уравнивания относится к целой сети треугольников, углы которых измеряются с ошибками. Впрочем, применимость модели со случайными, независимыми и одинаково распределенными ошибками наблюдений в геодезии достаточно сомнительна. Сомнительны, следовательно, и узаконенные методы уравнивания.
2. Пусть имеются два груза аи а2, которые хотим точно взвесить. Сначала кладем их на весы поодиночке и получаем результаты х\ и х2, а затем взвешиваем оба груза на одной чашке весов (результат хъ) и, наконец, кладем их на разные чашкн весов и уравновешиваем весом гирь х*. Если ai=Nlxi, то, очевидно, должны выполняться линейные соотношения
a3=ai+a2, 04=01—а2.
Возникает некоторая задача уравнивания измерений.
3. Если д'ь хп образуют выборку, a, = lVljc,-, то выполняются линейные соотношения
ai=a2=... =an=a=Nixi.
4. Пусть известно, что длина некоторого тела I линейно (а возможно, что и квадратично) зависит от его температуры t. Придадим в опыте t значения tu t2, ..., tn (некоторые из которых могут быть равными между собой); пусть эти значения выдерживаются достаточно точно, но соответствующие длины U измеряются с ошибками bi. Нужно найтн температурный коэффициент расширения тела и проверить гипотезу о линейной зависимости длины от температуры.
121
Математическая модель наблюдений выглядит так:
*« =- *('() — а0 + ajt + att2. + 6f,
где 6, — ошибка i-ro наблюдения длины (причем неизвестно, отличен ли от нуля коэффициент а2).
Образуем векторы * = (*!,. .,, хп), Г°=г(1, 1, . .. , 1), Т1- (*„/, ... , t„), 7* = (/j, q, , **)• Тогда вектор РЛх
математических ожиданий (считается, что М8(=0) компонент вектора наблюдений х имеет вид
Nlx = a0T* + alTi + atTt,
т. е. лежит в известном подпространстве L (линейной оболочке векторов Т°, Т1, Т2). Мы вновь сталкиваемся с линейной гипотезой. Данная задача называется задачей сглаживания наблюдений х\, .... хп с помощью многочлена. Нужно найтн оценки неизвестных коэффициентов а0. at, а2 и решить, достаточно ли велико значение а2, чтобы надо было признать, что имеется квадратичная зависимость длины от температуры.
5. Пусть поле разбито на делянки, каждая из которых занумерована парой индексов (i, j), t=l, .... I, /=/> ...» J, таким же образом, как элементы прямоугольной матрицы. Пусть на делянке (i, j) посеян i-й сорт некоторой культуры и применен /-й вариант удобрения; хц — урожайность на (i, j)-fi делянке. Предполагается, что Мдс,7=а, + &/, где а,- — средняя урожайность /-го сорта, Ь,- — средняя прибавка урожая при /-м варианте удобрения (одинаковая для всех сортов). Не исключается, что все Ь,=0 (удобрения неэффективны). Требуется проверить эту последнюю гипотезу. Эта задача называется задачей дисперсионного анализа. Здесь в линейном пространстве размерности IJ выделяется линейное подпространство L размерности I+J векторов {сц} с координатами CiI вида Cij=ai+bj, в котором лежат РАхц. Предполагается, конечно, что ¦*,,•=№¦*„• +6,/, где б,-/ независимы и имеют каждая распределение N (0, о). Вновь получаем частный случай линейной модели.
После этих примеров наблюдений, которые могут быть оппеаиы линейной моделью, переходим к описанию общих принципов обработки подобных наблюдений.
3.3.2. Метод максимума правдоподобия. Принцип (или метод) максимума правдоподобия впервые сформулирован Гауссом. Он заключается в следующем. Пусть распределение вероятностей каких-то наблюдений хи х2, .... л-п зависит от набора параметров a—(at, а2, .... ат). Иными словами, совместная плотность имеет вид
