Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Есть иной способ графического представления выборочного закона распределения — с помощью так называемой гистограммы. Ось значений х делится на некоторое число интервалов, н над каждым интервалом строится ступенька, высота которой равна доле наблюдений {*,}, попавших в данный интервал (частоте). Частота попадания в интервал аппроксимирует соответствующую вероятность, которая является интегралом (по данному интервалу) от плотности распределения. При достаточно малом интервале (однако не настолько малом, чтобы в него попадало слишком мало наблюдений) и учете единиц измерения частота похожа на плотность распределения. Диалектика, стоящая в скобках в последней фразе, осложняет применение гистограммы. Во всяком случае, построение гистограммы осмысленно при нескольких де-
*-2567 113
сятках или сотнях наблюдений. В то же время построение эмпирической функции распределения имеет смысл уже при нескольких наблюдениях. Поэтому функция распределения предпочтительнее, хотя при большом числе наблюдений гистограмма тоже вполне приемлема.
3.2. Оценка параметров по выборке. Применение к методу Монте-Карло. Средствами центральной предельной теоремы мы могли бы оценить возможное различие между Fn(x) и F(x) в данной точке х. Практический интерес представляет sup |^'n(x) — но принципиальные и технические слож-
X
ностн заставили нас привести соответствующий результат А. Н. Колмогорова без вывода. Однако имеется ряд статистических вопросов, которые непосредственно являются частными случаями центральной предельной теоремы.
3.2.1. Оценка математического ожидания и дисперсии. Параметры теоретического закона распределения часто представляют собой какие-то математические ожидания или связаны с ними. Для определения выборочных (или эмпирических) аналогов теоретических параметров обычно употребляется следующее правило: представим себе случайную величину, принимающую значения хи х2, .... хп с вероятностями 1 /п каждое, и напишем для нее соответствующее математическое ожидание. Например, теоретическое математическое ожидание (или теоретическое среднее) дается формулой
от
e= J xdF(x) = Мх, для любого i= 1, ..., п. Его эмпнри-
—оо
ческий аналог получится в виде математического ожидания случайной величины со значениями хи х2, хп, принимаемыми каждое с вероятностью 1/л: это среднее выборочное
1 п яя
(i>
Аналогично дисперсия o2=Dx,=M(x,— M х,)2 имеет эмпирический аналог (называемый эмпирической дисперсией S2), определяемый следующим образом:
Л ft
S1 = 1 2 (х,—х)ш = - 2 *?-(*)* (2>
/=1 п /=.1
(последнее равенство в (2) есть следствие общего соотношения D?=M|2—(Mg)2). Некоторые соображения (с которыми мы вскоре познакомимся) заставляют употреблять чуть измененный выборочный аналог дисперсии
114
Аналогично если Л-м (теоретическим) моментом каждой из случайных величин называется ah—Nlx*, то его вы*
1 *
борочный аналог есть аЛ= —2 **; если к-м центральным
(теоретическим) моментом называется Щх, — Мх,)\ то
1 п -
его выборочный аналог есть — Y (х,— х)к и т. д.
п /-I
Если мы не знаем каких-либо теоретических параметров, то надеемся узнать их приближенно с помощью их выборочных аналогов. Иначе это выражают, говоря, что выборочные характеристики являются оценками соответствующих теоретических. Хорошие оценки получаются лишь при большом объеме выборки; понятно, что это свойство в какой-то мере проявляется в следующем математическом определении: оценка называется состоятельной, если при л—»-оо ее значения сходятся по вероятности к истинному (теоретическому) значению параметра.
Например, х—*-а в силу закона больших чисел.
Для того чтобы установить, что S2—> о2, воспользуемся следующей леммой.
Лемма. Пусть функция f(x, у) двух переменных непрерывна в точке х—а, у=Ь; пусть последовательности случайных величин gn и т]п. л —1, 2.....сходятся по вероятности со-
ответственно к числам а и Ь. Тогда последовательность /(In, лn)—*f(a, b) (по вероятности).
Действительно, пусть при |дс—а|<6 и Iу—а|<6 выполнено неравенство: \f(x, y)—f(a, b) |<е. Нужно доказать, что PfJ/dn. Л»)-f(a> &)1<е)—*¦ 1 при любом е>0. Но событие {l/(!n. i\n)—f(a, 6)1 ^е) может произойти, если выпвлняется хотя бы одно из событий: lgn—а| >6 или |т|л—&I>б. Однако вероятность любого из последних двух событий стремится к нулю по условию леммы. Но тогда и P{l/(gn> т)п)—f(a> b) 1> 1>е} —> 0, что и требовалось доказать.
Пусть теперь существует Nix2.. Тогда — 5! *?-»• №*; но
ПЫ1
теореме Хинчина, а в целом правая часть (2) есть функ-иия 0^1 дЗ, Д если положить G(x, у)=х—у%. Функция
8* 115
G(x, у) непрерывна во всех точках; поэтому —
— (Мдг<)*— о* в силу леммы.
Конечно и 5,-мт’1 (нужно применить лемму к функции
