Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
<1—е, так как ц„(ф)^ц„{дг: |х| <Ле), поскольку 0<ф(дг)<1, причем ф(дг)=0 при |дг|>ч4е.
Нам нужно доказать, что fn(t)—Функции/„(О и /(/) получаются интегрированием от (—оо) до оо ограниченной функции t“x по мерам ц,„ и ц. Мы уже показали, что сравнение интегралов в пределах от (—оо) до оо приводится к сравнению интегралов в пределах от (—At) до А,. Заменим функцию eitx на функцию ф(х), совпадающую с еНх при \х\<А,, равную нулю при |х| >At+1 и гладкую. Значения интегралов, определяющих f„(t) и /(/), при этом (для достаточно больших п) изменятся не более чем на е; но при п—*-оо они обязаны неограниченно сближаться. Этим доказано, что для достаточно больших п имеем: |М0—/(0 |^2е; в силу
произвольности е>0 теорема доказана.
2.2. Теорема Хинчина. Поскольку рассматриваемые в теории вероятностей случайные величины сами могут быть функциями от других случайных величин, притом неограниченными, интересно бывает освободиться от условия ограниченности дисперсии, входящего в теорему Чебышева. Оказывается, что для одинаково распределенных случайных величин не требуется существования дисперсии.
Лемма. Пусть существует Щ. Тогда характеристическая функция U(t) имеет производную, причем
100
/'(O)-iMg.
Доказательство. Продифференцируем под интегралом выражение для характеристической функции; получим
Полагая в (1) /=0, получим утверждение леммы; однако нужно установить законность дифференцирования. Для этого достаточно заметить, что полученный после дифференцирования интеграл по х равномерно (по t) сходится, что вытекает из оценки \ixeiix\ — \x\ и существования М|. Лемма доказана.
Замечание. Аналогично при существовании момента /г-го порядка М|* (k=2, 3,...) существует k-я производная характеристической функции причем
Пусть даны независимые одинаково распределенные случайные величины Ii, !г,... (т. е. распределения н*» <Ч>’ •••¦ Vx„ >— одинаковы; обозначим это распределение ц). Пусть существует
s смысле сходимости по вероятности (т. е. разность SJn—в-*-—>-0 по вероятности,.
Доказательство. Установим сначала слабую сходимость. Поскольку
„а= •••+*¦ _в« «*—)+«»—)+ • • • +<*»-«> f
можно считать, что а=0. Рассмотрим характеристическую функцию
О)
Теорема Хинчина. Последовательность 5» Ы4§+ . • • +5* } а
п
п
п
п
п
/«„/"(*) “Мехр‘*
5i~HU4- » • •
я
101
где
f(t) =¦ NV exp (UtJ = J e,tx\t.(dx).
Поскольку j |jeJ}i(dje) < oo, существует f'(t)=ia*=Q. Но тог-—00
да
[i (») ]>= {1+no>«+ “ (»)}>= {1+° (*))" ~1
Таким образом, Sn/n сходится к случайной величине, принимающей значение 0 с вероятностью 1 в смысле слабой сходи* мости (поскольку функция /(0 = 1 есть характеристическая функция именно такой величины).
Выведем из слабой сходимости сходимость по вероятности. Нужно доказать, что для любого е>0 вероятность P{|S»|nl> >в)—>О. Возьмем гладкую функцию ф(дс), заключенную между 0 и 1, равную 1 в точке х=0 и равную нулю при \х\>ъ. Тогда
Мф(0)=»1.
Но Ма> (Sn/n)<l—P{|Sn/n|>e}, откуда вытекает, что Р{| Sn/ti | >е>-И). Теорема доказана.
2.3. Центральная предельная теорема. Вычислим сначала характеристическую функцию f(t) для стандартного нормального закона N {0, 1). Имеем
•о Ш
f(t) шш Г ettx —в-**/2 dx = —Г cos txe-^Pdx.
J J
—00 «>00
Есть много способов вычисления такого интеграла. Например, продифференцируем его по параметру t:
00
/'(/)=_L. f (_*) sin tx e-*!*dx =
__L. =
102
-------— Г е-**/2 rf(sin tx) = — t f(t).
УЫ J
—оо
Решая это дифференциальное уравнение (с условием f(0) = = 1), получаем
ДО = <?-'*/=.
Для случайной величины г)=о1+а, имеющей нормальное распределение N (а, о) с параметрами а и о, получаем
/„(= Ме//<а*+а> = ei/aNlei(,a)* = eitae~a,t^2.
Пусть теперь имеются две независимые нормальные случайные величины i]i и г)2 с параметрами соответственно (аь Oi) и (а2, аг). Имеем
что соответствует нормальному распределению с параметрами (at+a„ Vo\ + o\\ Таким образом, двухпараметрн-
ческое семейство нормальных законов i) = og + e переходит в себя при композициях. Можно доказать, что других таких семейств (при условии конечности дисперсии) не существует (но это доказательство существенно выходит за рамки данной книги; см., например, книгу Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [16]).
Пусть теперь li, 12, ..., In. - — одинаково распределенные случайные величины с распределением ц и конечными математическим ожиданием н дисперсией:
а= j xp(dx), о*= J (дс—a)V(d*)-
—00 —OB
Образуем Sn *=» + ?* + . . . + ?„«
Sn = (Sn—MSn)/Vi)S^— (Sn—no)/ ( о y~n) -
Центральная предельная теорема. При п —> оо распределение s* стремится к стандартному нормаль-ному распределению N(О, 1) (в смысле слабой сходимости). Доказательство. Представим s* в виде
