Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
где есть нуль или единица в зависимости от того, неудача была в i-м испытании или успех.
Поскольку а=М|А(=р, а*=1)рt=pq, нормированное число успехов |i* имеет вид: np^Ynpq. Таким обра-
зом, центральная предельная теорема получает вид:.
106
Эта теорема может быть выведена и без характеристических функций: путем терпеливого преобразования вероятности Р{ц=ш}=СГрт(1—р)п~т с помощью формулы Стирлинга. Результат (1) носит наименование теоремы Муавра — Лапласа; впрочем, как отмечалось, Лапласу были известны метод характеристических функций и гораздо более общие результаты.
2.6. Различно распределенные слагаемые. Центральная предельная теорема верна при довольно широких условиях и для сумм независимых различно распределенных величин. Одним из известных условий такого рода является условие Ляпунова. Оно состоит в том, что при некотором 6>0
П
•О,
где Я* — 2 Ecjih, например, слагаемые gi, ?...........
*=i
примерно одинаковы в том смысле, что
0<c<Dgk<C<oo, M(gk- Mgk)2+8<D<оо,
то условие Ляпунова выполнено. Действительно, В* имеет порядок величины п, следовательно, В2+8 —порядок
П
величины п1+8/2; сумма же 2 —Mgfc|2+* имеет поря*
док величины п.
Доказательство теоремы в условиях Ляпунова не пред* ставляет для нас принципиального интереса, так как дело сводится к оценке и суммированию логарифмов характеристических функций. В предельных теоремах интересны не столько доказательства, сколько выработанные путем проб условия теорем, в частности довольно хитрое условие Лнндеберга, непосредственно связанное с исследованием вопроса о том, какие вообще предельные законы могут возникнуть из суммирования независимых случайных величин (это также достижение XX в.). Со всем этим можно познакомиться по книге Б. В. Гнеденко [15].
109
§ 3. Статистические приемы, связанные с центральной предельной теоремой н нормальным распределением
3.1. Модель выборки. Теория вероятностей имеет дело с о-алгебрами и мерами; статистика — с конкретными числами, взятыми из наблюдений. В то время как мысль о континууме с заданной на нем мерой обычно не противна людям с физико-математическим складом ума, мысль об обширной таблице с числовыми данными, а тем более непосредственное созерцание такой таблицы, погружает многих в тоску. Чтобы можно было преодолеть эту тоску и приступить к какой-то статистической обработке, необходимо иметь систему теоретических ожиданий чего-то интересного, проявляющегося путем обработки (не столь даже важно, чтобы эти ожидания обязательно оправдались). Простейший способ создавать теоретические ожидания связан с моделью выборки.
Та (часто единственная) совокупность результатов наблюдений xi, Х2, .... хп, которая нам предъявлена, мыслится имеющей интерес не сама по себе, но как представитель статистического ансамбля, который можно было бы иметь при многократном повторении системы опытов, принесшей один раз результаты *1, х2, .... хп. Иначе говоря, набор xh х2, .... л>. объявляется реализацией некоторого случайного вектора 1г,..., Выборка, по определению, получается, если 1ь ?2. •••> .... In — независимые одинаково распределенные случайные величины. Итак, о том единственном, что у нас есть — наборе чисел Х\, хг, .... хп мы думаем с помощью того, чего у нас нет — набора случайных величин !ь !г, .. •» In» которые являются измеримыми функциями на некотором Q (для моделирования независимости Q можно считать прямым произведением вероятностных пространств). Следовало бы сами конкретные числа xt обозначить !ь 12...!„, но мы сохраняем обще-
принятое обозначение х\, х2, .... х„.
Итак, Xi, х2, .... хп — случайные величины. Нам неизвестно их распределение, но мы сейчас его приблизительно узнаем. Пусть F(x) — функция распределения: F(x) = P{xi<x}, xeR1.
Определение. Эмпирической (выборочной) функцией распределения называется функция Fn(x), задаваемая соотношением
Fn(x)=4-^0 .
п
Теорема 1. При п—*оо для любого х Fn(x)—-F(x) в смысле сходимости по вероятности.
Доказательство. Заметим, что Fn(x) представимо в виде
110
где функция 1х(у) определяется следующим образом: 1х(у) = =0 при у^х, Ix(y) = 1 при у<х.
Поскольку Xi — независимые случайные величины, слагаемые Ix{Xi) — также независимые случайные величины. При этом P{Ix(Xi) = l} = P{xi<x}=F(x), следовательно,
f\Ix(Xi)=F(x), а дисперсия DIx(xi) ограничена (например, единицей, поскольку y^R1). Применяя к (1) за-
кон больших чисел, получаем утверждение теоремы.
Таким образом, при достаточно большом п по эмпирической функции распределения Fn(x) можно неплохо судить об истинной (или теоретической) функции распределения F(x) каждой из случайной величин
Оказывается, что можно указать распределение вероятностей для расстояния между теоретической н выборочной функциями распределения, т. е. для случайной величины, определяемой как sup|Fn(jt) — F(x |. Причина того, почему это
