Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
где уц ¦« (tj—a)h. Очевидно, что Nltjy — О, Dyjj ¦¦ I. Обозначим через g(f) характеристическую функцию любой из случайных величин т^. Вычислим характеристическую функцию «*:
Перейдем к пределу при фиксированном t (либо при t, меняющемся в ограниченных пределах: |/К-4<:<»), п—*-оо, учитывая, что g'(0) =|'Мт1/=0, g"(0) =—Mt)*=—Drj,=—I. Получаем
Теорема доказана.
Замечание 1. Величина o(t2/n), вообще говоря, комплексная, но для комплексных чисел гп—>-0 (но таких, что юп—*-w) справедливо соотношение \\m(\+zn)n=expw.
Замечание 2. Имея в виду применение таблиц нор* мальиого закона (т. е. функции Лапласа Ф(х) —
Из слабой сходимости нетрудно вывести сходимость функций распределения. Пусть действительно последовательность распределений ц„ —> ц слабо; обозначим через Fn(х) и F(x) соответствующие функции распределения цп{(—оо, *)} и ц{(—оо, х)}.
Утверждение. Если х0 — точка непрерывности предельной функции F(x), то Fn(x0)—> F(x0).
Доказательство. В §2 (при доказательстве теоремы о непрерывности соответствия) мы заметили, что для каждого е>0 существует число At, такое, что \i{x:\x\<A,}^ 1—е, рп{х-\х\<Аг}^\—е (для достаточно больших п). Это означает, что прн \х\>А, функции распределения Fn(x) н F(x) близки. Пусть |дс0!<Д«. Введем две гладкие функции: q>+(x; х0) и <f-(x; х0) следующим образом. Обе этн функции заключены между 0 и 1, обращаются в нуль при х<— А,—1; прн —Л,<дс<дс0—б функция ф_(дс; хо) равна 1 и обращается
104
центральную предельную теорему обыч-
но формулируют следующим образом:
F,*n{x) - Р{< <*}-> Р(х) (п-+ оо).
(1>
в нуль при дг>л0; при —у4с^д'^а'0 функция <р+ (х; х0) равна 1 и обращается в нуль при лг>х0+6 (б>0 — произвольное). Тогда значения F„(x0) и F(x0) отличаются не более чем нае от чисел, заключенных соответственно между ц„(ф_) и ц»(ф+) ” между jla(ф—) и ц(ф+). Так как х0 — точка непрерывности функции F(x), то (при малом б) величины ц(<р_)и ц(<р+) могут быть сделаны сколь угодно близкими. Но при п—> оо Цп(ф-)—'•ц(ф-). Цп(ф+)—>ц(ф+), и таким образом, доказано, что при достаточно большом п сколь угодно близки Fn(xо) и F(xо). Это и есть сходимость Fn(x0)—*F(xо).
Для нормального закона любая точка х является точкой непрерывности функции распределения Ф(х). Поэтому Fs*(x) —i> Ф(дс) в любой точке х. Учитывая монотонность Fs*(x) и Ф(х), легко видеть, что такая сходимость обязательно равномерна по х, —оо <? х<С оо.
Итак, центральную предельную теорему можно сформулировать в виде утверждения о равномерной сходимости в (1).
(Нетрудно показать, что из сходимости функций распределения, наоборот, вытекает слабая сходимость.)
Проблема практических применений. Мы изложили лишь небольшую часть того, что в настоящее время известно на чисто математическом уровне о центральной предельной теореме. За кадром нашего изложения остался ряд интересных и глубоких аналитических результатов; однако все эти результаты не проливают достаточно света на то, как следует (или как не следует) применять центральную предельную теорему в различных практических ситуациях. На практике, конечно, нельзя дождаться, пока п будет стремиться к оо. Имеется ряд численных расчетов, которые показывают (на правах экспериментального результата), что при числе слагаемых я порядка нескольких десятков имеет полный смысл заменить распределение суммы s‘ нормальным распределением на правах точного выражения. Однако нужно предупре-дить об одной опасности, связанной с так называемыми «хвостами распределении».
Довольно часто нас интересуют такие х, что вероятности P{s'<дс} или, наоборот, Р{s'^x} крайне малы — порядка 0,01 или еще меньше (такие вероятности называются «хвостами» функции распределения). Фактически в этих выражениях х оказывается не постоянной величиной, а функцией от п: мы так подбираем х=х„, чтобы сделать «хвосты» достаточно малыми. Существует, вообще говоря, проблема маловероятных событий, которая, в общем, состоит в том, что такие события оказываются для нас плохо постижимыми как в чисто математическом, так и в любом практическом смысле: мы не уверены как в том, что их вероятности вообще существуют (в том, например, смысле, что нам дан в опыте ансамбль.
105.
статистически однородных экспериментов), так и в том, что мы сколько-нибудь правильно нашли их (если они существуют). Применительно к нормированной сумме s* чисто математическая проблема состоит в следующем.
Утверждается, что Р{«*<*)->Ф(*) равномерно по х\ но не утверждается, что отношение Р(5*<*}/Ф(*) (либо отношение P{s*>x}/(1 — Ф(х)) сходится к единице равномерно по х. (Утверждение об отношении математически неверно.) Следовательно» возможна, например, ситуация, когда P{s*<x}«-0,01, а Ф(х)=0,001: разность между этими числами мала, но их отношение равно 10. Если событие («*<*) моделирует аварию единичного изделия, а мы собираемся наладить массовый выпуск этих изделий, то мы не должны ошибаться в 10 раз при оценке вероятности аварии. Между тем при использовании центральной предельной теоремы это вполне возможно.
С этим затруднением наука борется. Нормальное распределение в «хвостах» заменяется другими: это так называемые «вероятности больших уклонений». С большими уклонениями можно познакомиться, например, по книге В. Феллера [40]. Другой способ борьбы — это так называемые «вероятности экстремальных значений», когда моделью является не сумма независимых случайных величин, а большое число независимых одинаково распределенных величин, из которых берется максимальная или минимальная (об этом см. книгу Гумбеля [17]). Но распределения, возникающие из этих двух моделей, не обладают достаточной практической надежностью, чтобы их можно было безоговорочно рекомендовать к употреблению. Бывают удивительные совпадения, но это совсем не обязательно.
