Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Щх, у) = ху, положить 1„ = —->1, т|п = 5*).
Л—1
Можно доказать (предполагая, что Nixk. существует) сходимость и т. д.
Разберем теперь, чем вызвано применение s2 вместо S2. Полезным свойством оценки является несмещенность: оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно теоретическому значению параметра. (Если это свойство выполнено, то, пользуясь оценкой много раз, мы не будем систематически завышать или занижать истинные значения параметра.) Вычислим (считая, очевидно, без ограничения общности, что NlXi=a=0, следовательно, D.t,=Mx'=o2) математическое ожидание MS2:
П
М5* = 1Лх?— М(х)* = о*—\
п I. /=. I \ " /
(использовано соотношение: Мх,х;=Мдс,Мдс;=0, если 1ф'и в силу независимости Xt и X/ — такова ведь модель выборки).
Таким образом, переход от S2 к s2 связан с желанием обеспечить несмещенность: Ms2=o2 для оценки дисперсии.
Замечание. Конечно, оценкой среднеквадратического уклонения о будет 1/S2 либо Vs2. Обе эти оценки, вообще говоря, смещенные, но их нельзя поправить, не зная закона распределения F(x) = p{xi<x). Оценку же для о2 поправить можно; это и используется в статистике. Смещение составляет величину порядка 1/л; можно выяснить, что случайные отклонения S2 (или s2) от о2 имеют величину порядка 1/Ул, так что поправка существенна лишь при совместной обработке многих оценок дисперсии (когда детерминированное смещение может каким-то способом проявляться).
Замечание о вычислениях. Многие думают, что арифметические вычисления S2 нужно производить по второй из формул (2). Для ЭВМ это все равно; при ручных же вычислениях ни в коем случае: только по первой. Иначе нужно удерживать слишком большое количество значащих цифр. Такой замечательный вычислитель, как П. Л. Чебышев, при обработке данных Г. Кавендиша о плотности Земли, производя вычисления по второй формуле («Опыт элементарного анализа теории вероятностей», самый конец работы), удер-жал-таки не вполне достаточное число значащих цифр в 2*//л (при всего л=29 наблюдениях).
«6
Посмотрим теперь, насколько х может отличаться от а при не очень большом п (достаточном, однако, для действия центральной предельной теоремы). Имеем
*
-___ Ixj — па _ °*п s*___________ Sx/ — па
Х “ « ~Vn ' *п~~ 'Уп
Следовательно,
Это соотношение, вытекающее из центральной предельной теоремы, давало бы нам исчерпывающую характеристику возможных отклонений х от а, если бы нам было известно о. Действительно, из таблиц нормального закона можно узнать, например, что 2Ф(—1,96) =0,05. Еслн (при данном «^определить е из соотношения еУп/о= 1,96, т. е. е = 1,96о/Уп, получим, что
Р{х —е<а<х + е) = 0,95. (4)
Таким образом, интервал [х—е, х+е] со случайными (зависящими от наблюдений) концами ловит неизвестное значение параметра а с вероятностью 0,95; такой интервал называется доверительным интервалом для параметра а с коэффициентом доверия 0,95.
Можно, наоборот, заранее задать е и спросить, каким должно быть число наблюдений п, чтобы выполнялось (4) (ответ: таким, чтобы еУл/о=1,96).
Но на практике о, как правило, неизвестно. (Это странно: если xi — измерения, то, казалось бы, можно было бы из аналогичных измерений определить о и записать его в паспорт прибора. Такие попытки не дают, однако, устойчивых значений о.) Сложилась концепция, согласно которой о определяется из тех же наблюдений хi (путем любой из оценок S и s).
Если теперь поставить вопрос о точности, с которой определено о, то придется исследовать формулу (2); дисперсия S2 выразится через четвертые моменты Мх}. При оценке четвертых моментов точность их определения выразится через шестые и восьмые и т. д. Нужно волевым образом оборвать эту незамкнутую цепочку, и на практике вставляют вместо о его оценку s на правах точного значения. Это, в общем, оправдано следующими соображениями. Коэффициент доверия
0,95 в формуле (4) назначен достаточно произвольно. Если
117
вместо 0,95 назначить 0,99, то вместо 1,96 будет 2,58, т. е. е увеличится на 32%. Но уже при п порядка нескольких десятков точность определения о по s будет заметно выше, чем 30%, т. е. ошибка, связанная с заменой о на s, малосущественна.
О практических результатах, связанных с применением понятия доверительного интервала, см. подробнее во второй части данной книги.
3.2.2. Применение к методу Монте-Карло. Рассмотрим вычисление многомерного интеграла
1 1
/ — | • • • » xn)dxy . • . dxn.
о о
Вычислять его с помощью каких-то приближенных квадратурных формул довольно безнадежно, так как каждой из переменных Х\, .... хп надо дать хотя бы десяток различных значений, а тогда всего будет 10" различных точек сетки, что при п порядка нескольких десятков исключает всякую возможность счета. Предположим, что мы умеем моделировать случайные числа, принимающие значения на [0, 1] с равномерным распределением и независимые друг от друга (решена проблема датчика случайных чисел). Еслн |=(ti.........|п)—
