Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
X
вообще возможно, устанавливается следующей леммой 1; технические же детали сложны, и мы сформулируем окончательный результат без доказательства.
Лемма 1. Пусть g=g(x) — непрерывная строго монотонная функция (x^R\ g(x)eR'). Пусть gut) — случайные величины с функциями распределения Fx(x) и Fn(x). Пусть ?*=?(1). Л*=?(Л)- Тогда
sup \F (x) — F (х)| = sup |F .(*) - F,(x)\.
X X 4
Доказательство. F.,(x) -F^(x) » P(g#<*}— P{*)#<
<Jf}=P{^)<^-PW<x> -P{6 <*-'(*)}-Р|ч<* -'(x)} -= F.(g~l(x)) — FJg-^x)). Следовательно, если sup |F.(x) —
F^x)] достигается на последовательности точек х*я*ха, Л"1, 2.......то такое же значение |F5,(jc) — ^ч,(х)| дости-
гается на последовательности точек x=g(x„)> л—1, 2, ... . Лемма доказана.
Замечание. Пусть случайная величина 1 имеет строго монотонную и непрерывную функцию распределения Ft(x). Тогда случайная величина F{(|) имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. В самом деле, при хе[0, 1] существует F~l (х) н
P{F5(?)<x) - P{?<Fr«(*) - Fz(F~4x)) = ж,
но функция х на отрезке [0, 1] есть функция распределения равномерного закона.
Ш
Пусть теперь теоретическая функция распределения F(x) строго монотонна (может быть, на полупрямой или отрезке) и непрерывна. Пусть Х\, хп — выборка. Образуем выборку У\, .... Уп, где «/,= F(Xi), теоретический закон которой — равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Заметим, что расстояние между теоретической и выборочной функцией распределения для выборки Х\, .... хп такое же, как для выборки у\...уп с равномерным законом. (Чтобы свести это
утверждение к лемме 1, заметим, что на эмпирическую функцию распределения можно смотреть как на функцию распределения случайной величины, принимающей значения Xu Х2. .... хп с вероятностью 1 /п каждое.) Таким образом, wn = sup \ Fn( к) — x | есть случайная величина, распре-*
деление которой не зависит от F(x): можно считать, например, что теоретическое распределение — это равномерный закон на отрезке [0, 1]. Поэтому для распределения шп может быть (при каждом п) составлена таблица. Более или менее полные таблицы такого рода имеются, например, в сборниках таблиц Л. Н. Большева н С. В. Смирнова [2] и Я- Янко [49].
Оказывается, что при п-* оо, величина wn по порядку
величины составляет 1/|/л. При этом распределение величины Уп'шп шт Уп sup |^п(*)—^(*)| стремится к некоторому
предельному распределению, которое называется распре-делением Колмогорова (этот результат получен А. Н. Колмогоровым в 1933 г.)- Таблица функции распределения Колмогорова имеется в сборниках таблиц (а пример применения см. во второй части данной книги). Асимптотика неплохо действует, начиная с п порядка нескольких десятков.
В том случае, когда ожидается какое-то определенное теоретическое распределение, например, нормальное, эмпирическую функцию распределения интересно нарисовать в так называемом нормальном масштабе. Могут быть два случая: 1) параметры нормального закона заранее известны; это бывает редко; 2) параметры нормального закона заранее неизвестны (это бывает чаще). В обоих случаях теоретическая функция распределения имеет вид Ф((х—а)/а), где Ф — функция Лапласа.
Если мы выберем по оси ординат такой масштаб, в котором функция распределения нормального закона при каких-то значениях параметров а=а0 и о=оо изображается прямой линией, то и при других значениях параметров функция Ф((х—а)/о) тоже будет изображаться какой-то другой прямой линией (из-за линейности замены переменной х при переходе от одних значений параметров к другим). Такой масштаб и называется нормальным. Эмпирическая функция рас-
112
пределения будет представлять собой ступенчатую функцию, которую можно неплохо сгладить прямой линией с помощью прозрачной линейки.
Изображение эмпирической функции распределения (особенно в нормальном масштабе) представляет собой испытанное на практике средство для снятия чувства отвращения к числовым данным. При этом производится самая важная глазомерная проверка нормальности; могут быть определены графически и приблизительные значения параметров нормального закона. Действительно, пусть Ф(х) — результат глазомерного сглаживания; тогда Ф(х)«Ф((х—а)/а), где а и а — истинные значения параметров. Найдем по чертежу точку х0, в которой Ф(х0) = 1/2. Тогда и Ф((х0—а)/о)« 1/2, откуда х0—а«0, т. е. atax<>. Далее, найдем точку Xu в которой ®(xi)=0,84. Тогда (xt—х0)/ас&\ (ибо Ф (1) =0,84 согласно таблицам нормального закона), откуда o«Xi—х0. Для более точной оценки о найдем точку х-i, в которой Ф (jc—i) = =0,16. Тогда о» СJti—x-i)/2. Таким образом, обычное исследование наблюдений с помощью так называемой «теории ошибок» может быть сведено к изображению эмпирической функции распределения в нормальном масштабе.
Более подробное описание этой техники с практическими рекомендациями можно найти в книге А. Хальда [41]. Заметим, что функция распределения Колмогорова относится к различию между Fn(x) и ^(х); в случае нормального закона F(x)=<I>((x—а)/о), где а и о — истинные значения параметров. Нельзя вместо Ф((х—а)/о) употреблять Ф(х), так как Ф(х) есть функция, подобранная по данной Fn(x), которая гораздо ближе к Fn(x), чем теоретический закон Ф ((дс—а)/о) (иными словами, нельзя вместо а и о вставлять их оценки, полученные по наблюдениям, и при этом пользоваться предельным распределением Колмогорова).
